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10.5 : Suspension dans un écoulement de cisaillement - La théorie diffusionnelle de la suspension - Géosciences

10.5 : Suspension dans un écoulement de cisaillement - La théorie diffusionnelle de la suspension - Géosciences


Les particules en suspension sont maintenues au-dessus du lit par le mouvement turbulent du fluide. Les particules en suspension exercent donc une force sur le lit, bien qu'indirectement, contrairement aux forces directes exercées sur le lit par le déplacement des particules chargées du lit.

Il est théoriquement possible que des particules se déplacent dans le fluide à proximité du lit sans être réellement en contact avec le lit, et pourtant ne soient pas en suspension. Cela se produit dans la vraie saltation : le mouvement balistique des particules résulte des forces de portance du fluide et/ou des particules frappant le lit, mais il ne dépend pas du tout de la turbulence - et en fait Francis (1973) a décrit la saltation des particules dans un système laminaire. couler. Il a également été postulé que les particules peuvent être maintenues dans un état dispersé près du lit par des collisions réelles entre les particules ou par des quasi-accidents qui produisent des forces visqueuses avec des composantes verticales qui maintiennent les particules au-dessus du lit. Il s'agit de la « pression dispersive » de Bagnold (1956), dont l'efficacité fait encore débat.

Il a été noté plus haut dans ce chapitre que les particules commencent d'abord à se déplacer en suspension lorsque la composante verticale de la turbulence (ou, plus précisément, la composante normale au lit de la turbulence) devient à peu près égale à la vitesse de sédimentation des particules. (Équation 10.3.2). Comme indiqué précédemment, il n'existe aucun moyen naturel de caractériser l'amplitude de cette composante fluctuante de la vitesse verticale du fluide, car elle fluctue sur une large plage de valeurs ; la valeur efficace est généralement utilisée pour caractériser son amplitude à cette fin. Contrairement à une opinion parfois exprimée dans la littérature, la suspension ne dépend pas d'une asymétrie dans la distribution de fréquence des vitesses verticales fluctuantes : à condition qu'au moins certaines des fluctuations verticales soient supérieures aux vitesses de sédimentation des particules, certaines des les particules subissent une suspension, même si la distribution de fréquence des vitesses fluctuantes est asymétrique, car les conditions seraient toujours propices à la diffusion (voir chapitre 1) : mouvements aléatoires du milieu, en combinaison avec un gradient ascendant de concentration en sédiments, de non nul en la couche de charriage à une valeur plus petite, peut-être même nulle, à une plus grande hauteur au-dessus du lit. Une telle asymétrie dans la distribution de fréquence des vitesses verticales pourrait cependant affecter les détails de la distribution de concentration.

Avant d'aborder le cas plus important mais plus compliqué de la suspension dans un écoulement de cisaillement turbulent, nous allons nous intéresser à la suspension par turbulence homogène et isotrope. Les caractéristiques de la turbulence ne varient pas d'un endroit à l'autre dans une certaine région du fluide, et elles ne varient pas non plus avec la direction à n'importe quel point dans cette région. Rouse (1939), le premier à étudier la suspension des sédiments de cette manière, a produit une approximation proche de la turbulence isotrope en faisant osciller verticalement un réseau de grilles carrées dans un cylindre vertical de grand diamètre (« jarre à turbulence »).

Le flux volumique descendant des particules par décantation, à partir d'une région du fluide ayant une concentration (C) de particules de taille uniforme, est (-wC). Il est raisonnable de supposer que la diffusion verticale ascendante des particules suit une loi de diffusion fickienne, comme de nombreux autres processus de diffusion (voir chapitre 1), de sorte que le flux volumique ascendant des particules par diffusion est (varepsilon_{S} d C / dy), où (varepsilon_{S}) est un coefficient de diffusion, qui doit être constant dans un champ de turbulence isotrope d'un type et d'une force particuliers, et la direction positive (y) est ascendante. L'équation des deux flux donne une expression de la distribution verticale de la concentration de particules en suspension :

[w C+varepsilon_{S} frac{d C}{d y}=0 label{10.8} ]

L'expression résultante de la concentration de sédiments en suspension en fonction de la hauteur y au-dessus du lit, développée ci-dessous, est parfois appelée théorie diffusionnelle de la concentration de sédiments en suspension. Il semble également raisonnable que le coefficient de diffusion (varepsilon_{S}) soit proportionnel, sinon égal, au coefficient correspondant pour la diffusion de la quantité de mouvement du fluide, c'est-à-dire la viscosité cinématique de Foucault, et donc dans une jarre à turbulence elle doit être proportionnelle à la fréquence d'oscillation verticale de la grille. Rouse a vérifié que c'est le cas, confirmant ainsi la validité de l'équation de diffusion (voir aussi les résultats expérimentaux rapportés par Antsyferov et Kos'yan, 1980).

Dans la nature, la turbulence homogène et isotrope est l'exception ; nous devons faire face à des turbulences dont les caractéristiques varient généralement avec la distance par rapport à la frontière, et au moins dans une certaine mesure avec la direction, principalement normale à la frontière en tout point. Dans un écoulement de cisaillement turbulent, comme par exemple dans une rivière, un courant de marée ou un vent fort, où la turbulence n'est même pas approximativement homogène et isotrope sauf peut-être à de grandes distances du lit, on doit s'attendre à ce que le coefficient de diffusion varie en la direction (y) normale au lit, nous avons donc besoin d'une expression qui nous indique comment elle varie avec (y) avant de pouvoir utiliser l'équation ef{10.8} pour prédire comment la concentration en sédiments varie avec (y).

Pour trouver une telle expression, nous supposons que le coefficient de diffusion des sédiments (varepsilon_{S}) est proportionnel à la viscosité turbulente (varepsilon), donnée par

[ au= ho varepsilon frac{d u}{d y} label{10.9} ]

En supposant que (varepsilon_{S}=eta varepsilon), alors

[ au=frac{varepsilon_{S} ho}{eta} frac{d u}{d y} label{10.10} ]

où (eta) est un coefficient susceptible d'être proche de un. Vous savez déjà que ( au) varie linéairement avec (y) dans un flux de canal ouvert uniforme,

[ au= au_{ ext{o}}left(1-frac{y}{d} ight) label{10.11} ]

(voir chapitre 4), donc

(varepsilon_{S}=frac{frac{eta au_{ ext{o}}}{ ho}left(1-frac{y}{d} ight)}{frac {du}{dy}})

[=frac{eta u_{*}^{2}left(1-frac{y}{d} ight)}{frac{d u}{d y}} label{10.12} ]

En utilisant la loi du mur sous forme différentielle (Chapitre 4),

[frac{d u}{d y}=frac{u_{*}}{kappa y} label{10.13} ]

on a

[varepsilon_{S}=eta u_{*}left(1-frac{y}{d} ight) kappa y label{10.14} ]

L'équation ef{10.14} est la relation entre (varepsilon_{S}) et (y) dont nous avons besoin pour résoudre l'équation ef{10.10}. La combinaison des équations ef{10.8} et ef{10.14} donne

[frac{d C}{C}=frac{-wdy}{eta kappa u_{*}left(1-frac{y}{d} ight) y} label{10.15} ]

qui peut être intégré pour donner l'équation dérivée pour la première fois par Rouse (1937):

[ln C=frac{w}{eta kappa u_{*}} int_{a}^{d} frac{dy}{left(1-frac{y}{d} à droite) y} étiquette{10.16} ]

ou alors

[frac{C}{C_{a}}=gauche(frac{d-y}{y} frac{a}{d-a} ight)^{z} label{10.17} ]

[z=frac{w}{eta kappa u_{*}} label{10.18} ]

L'exposant (z) est parfois appelé le Numéro d'appel.

Vous pouvez voir à partir des équations ef{10.17} et ef{10.18} que plus la valeur de (z), plus la concentration de sédiments en suspension diminue rapidement avec la hauteur au-dessus du niveau de référence (a). Équation ef{10.17}, représentée graphiquement sur la figure(PageIndex{1}), donne la concentration de sédiments en suspension d'une vitesse de sédimentation donnée (w) à une hauteur (y) au-dessus du lit par rapport à sa concentration (C_{a}) à un "niveau de référence" choisi arbitrairement (y = a) au-dessus du lit.

Idéalement, la concentration de référence (C_{a}) serait considérée comme étant aussi près du lit que possible mais toujours suffisamment au-dessus du lit pour qu'un équilibre entre la décantation vers le bas et la diffusion turbulente vers le haut des sédiments en suspension soit physiquement raisonnable. La théorie échoue très près du lit, car un équilibre entre la diffusion turbulente ascendante passive et la décantation descendante n'y est pas applicable : les mouvements des particules au niveau et très près du lit sont contrôlés par les forces de portance et de traînée du fluide, et si les concentrations sont être significativement affecté par les collisions ou les interactions entre les particules. La hauteur de référence a au-dessus du lit est le plus naturellement juste au-dessus de la couche de charriage. Ceci est cohérent avec l'idée que la concentration de sédiments au sommet de la couche de charriage agit comme une condition limite inférieure pour la distribution des sédiments en suspension plus haut dans l'écoulement. Cela soulève le problème de la spécification de la concentration de sédiments en suspension en termes absolus plutôt que relatifs : aucune théorie réussie n'a encore été développée pour la concentration de charriage en fonction des conditions d'écoulement et de sédiments. Étant donné que la structure de l'écoulement et la dynamique du mouvement de la charge de fond sont si complexes dans la couche proche du lit lorsque l'écoulement est suffisamment fort pour déplacer les sédiments en suspension, aucun moyen élégant n'a été développé pour exprimer cette idée attrayante, que le lit charge constitue la condition limite inférieure pour la charge suspendue, dans la pratique utile.

Des expériences pour tester l'équation ef{10.19} ont été rapportées par Vanoni (1946). Ces expériences ont été pour la plupart réalisées à des vitesses relativement élevées sur un lit plan (soit un lit de sable, soit le fond rigide du canal) et à diverses concentrations de sable. Vanoni a trouvé un accord général entre les concentrations de sédiments prédites et observées (Figure (PageIndex{1})).

Étant donné que (eta) et (kappa) sont supposés être des constantes, le principal facteur qui détermine la distribution des sédiments en suspension avec une hauteur (y) au-dessus du lit devrait être le rapport de la vitesse de sédimentation (w) à la vitesse de cisaillement (u_{*}). Il a été suggéré dans une section précédente de ce chapitre qu'un rapport critique d'environ un détermine si des particules entreront en suspension : puisque (eta approx 1) et (kappa approx 0.4), (w /u_{*}) inférieur à un correspond à (z) inférieur à (2,5). Nous pouvons voir sur la figure (PageIndex{1}) qu'à des valeurs de (z) supérieures à (2,5), tout sédiment en suspension serait concentré dans une zone très proche du lit - et cela tend à confirmer le choix de (w/u_{*}) comme critère approprié de suspension.

Deux facteurs dans les écoulements à ciel ouvert ont un effet direct sur le rapport (w/u_{*}) et donc sur le profil vertical de concentration en sédiments en suspension : la viscosité et le frottement. D'abord la viscosité : pour une granulométrie et une forme données, (w) est réduit par une augmentation de la viscosité ressentie par les particules en décantation. Cela peut se faire de deux manières : une diminution de la température du fluide, qui augmente la viscosité du fluide lui-même, ou une augmentation de la concentration de charge de lavage. Dans ce dernier cas, la viscosité du fluide reste la même mais la viscosité effective du milieu déformable (le fluide chargé de charge de lavage) qui est détectée par les particules de la charge de lit en suspension, qui sont beaucoup plus grosses que les particules de la charge de lavage, est plus grande. Ces deux effets agissent pour réduire le rapport (w/u_{*}), et donc le nombre de Rouse (z), et rendre les sédiments plus uniformément distribués dans la verticale (équation ef{10.19}). Cependant, l'effet de viscosité du fluide diminue avec l'augmentation du nombre de Reynolds à vitesse de sédimentation et devient sans importance lorsque la plage de nombres de Reynolds pour laquelle le coefficient de traînée est approximativement constant est atteinte; voir chapitre 2.

Passons maintenant à l'effet du frottement : pour une vitesse d'écoulement moyenne donnée, une augmentation du coefficient de frottement du fond provoque une augmentation de la contrainte de cisaillement du fond, et donc de la vitesse de cisaillement. Pour voir pourquoi, revenons à la définition du facteur de frottement (f) (Équation 4.7.7 du chapitre 4) : ( au_{ ext{o}} = (f/8) ho U^{ 2}), ou (U/u_{*} = (8/f)^{1/2}). Ainsi, une augmentation de la vitesse de cisaillement entraîne également une distribution verticale plus uniforme des sédiments en suspension, en diminuant le rapport (w/u_{*}). Dans les rivières à lit de sable, les changements de f sont principalement produits par des changements dans la rugosité relative, qui dépend principalement de la nature et de la taille des formes de lit. Les grandes formes de lit, comme les dunes, produisent de grandes valeurs de (f), et par conséquent provoquent une distribution plus uniforme des sédiments en suspension dans la verticale que si le lit était plan. En fait, il a été observé dans les études sur les canaux que la concentration moyenne verticale de sédiments en suspension diminue quelque peu lors de la transition d'un lit de sable couvert de dunes à un lit plat de régime supérieur, avec sa diminution concomitante de la résistance à l'écoulement, à mesure que l'écoulement la vitesse augmente.

La théorie de la suspension par les écoulements turbulents décrite ci-dessus est basée sur l'hypothèse que l'écoulement est constant. C'est une approximation raisonnable pour la plupart des rivières, mais les courants de marée changent assez rapidement en profondeur et en vitesse au cours du cycle de marée. Il a été montré que dans les écoulements de cisaillement turbulents expérimentaux, les écoulements en décélération ont des intensités de turbulence plus importantes et produisent des contraintes de cisaillement plus importantes sur le lit que les écoulements stables. On pourrait donc s'attendre à ce que les écoulements en décélération soient plus érosifs et qu'ils aient une plus grande capacité de sédiments en suspension que les écoulements stables ou en accélération. Wimbush et Munk (1970), Gordon et Dohne (1973), Gordon (1975), Bohlen (1977) et McCave (1979) ont rapporté des mesures suggérant que les intensités de turbulence sont plus élevées que la normale pendant la décélération des écoulements sur les marées montantes et descendantes. . Gordon (1975) et Bohlen (1977) ont commenté les implications pour le transport des sédiments en suspension par les courants de marée, mais il manque encore des preuves directes convaincantes de l'effet de la décélération sur le transport des sédiments par les courants de marée.

La théorie diffusionnelle de la suspension présentée ci-dessus repose sur l'hypothèse que la turbulence diffuse les sédiments selon une loi de diffusion simple (« Fickienne »). Cette hypothèse est en assez bon accord avec l'expérience, mais ce n'est pas la seule base possible pour une théorie de la suspension des sédiments. Des théories alternatives, basées sur différentes hypothèses, sont décrites par Nordin et McQuivey 1971), Drew (1975 ; voir aussi Drew et Kogelman, 1975), Willis (1979), Herczynski et Pienkovska (1980) et McTigue (1981), entre autres. .

Bien que la théorie diffusionnelle de la suspension de sédiments ait été décrite comme « la réalisation analytique la plus brillante à ce jour dans le domaine de l'hydraulique fluviale » (Hsu et al., 1980 ; voir aussi Kennedy, 1984, p. 1257), en ce qu'elle représente un et approche théorique rationnelle, basée sur des effets physiques raisonnablement bien compris, qui réussit assez bien dans ses prédictions sans s'appuyer sur des « fudge factor » suspects, elle est sujette à un certain nombre de critiques :

  • La théorie ne prend pas en compte les détails de la façon dont les particules de sédiments sont réellement traitées par les tourbillons dans le champ d'écoulement turbulent. Il y a deux aspects différents à cela. L'un est lié à l'effet intéressant et contre-intuitif de la tendance des tourbillons à piéger les particules sédimentaires (Tooby et al. 1977 ; Nielsen, 1984), discuté brièvement au chapitre 3. L'autre est que la théorie suppose une turbulence isotrope dans sa forme. mouvements verticaux, c'est-à-dire que la distribution de fréquence de la vitesse verticale est symétrique. Il y a de bonnes raisons de croire, cependant, que près du lit, la composante verticale est anisotrope (Leeder 1983a, 1983b) : les mouvements ascendants les moins courants sont plus forts que les mouvements descendants les plus courants dans cette région, comme on pourrait s'y attendre du semi-cohérent. structure burst-sweep de la turbulence proche du lit (chapitre 4). Comme proposé pour la première fois par Bagnold (1966) et développé plus avant par Leeder (1983a, 1983b), l'anisotropie des vitesses turbulentes verticales est ce qui maintient les sédiments en suspension - avec l'implication que sans cette anisotropie, la concentration de sédiments en suspension serait beaucoup moins . Le défaut de ce concept est que, pour maintenir l'équilibre des masses fluides passant vers le haut et vers le bas dans le champ de turbulence, les tourbillons descendants doivent couvrir une plus grande surface, dans n'importe quel plan à travers l'écoulement qui est parallèle à la limite inférieure, que le tourbillons ascendants, maintenant ainsi un échange équilibré de sédiments même face à l'anisotropie verticale de la turbulence. Malgré certaines affirmations contraires dans la littérature, une telle anisotropie n'est qu'un effet de distorsion mineur sur la théorie diffusionnelle, et n'est pas une condition nécessaire pour le maintien des sédiments du lit en suspension.
  • Vanoni (1946, et de nombreuses enquêtes ultérieures rapportées et analysées dans Vanoni, 1975) ont constaté que dans certaines expériences, en particulier celles dans lesquelles il y avait une forte concentration de sédiments grossiers près du lit, la valeur de la constante de von Kármán supposée universelle diminuait de sa valeur acceptée de (0.38) à des valeurs aussi basses que (0.2). Il a interprété cela comme indiquant que la présence de sable se déplaçant près de la limite a modifié la structure de la turbulence dans l'écoulement. La constante de von Kármán (kappa) joue un rôle fondamental dans la théorie diffusionnelle des sédiments en suspension, en raison de son effet sur le gradient de la vitesse d'écoulement moyenne dans le temps dans la loi de la paroi (équation ef{10.15}) ; si (kappa) est lui-même affecté de manière non négligeable par la présence de sédiments en suspension, alors il devient une partie du problème plutôt qu'une contribution indépendante au problème, et la théorie deviendrait beaucoup plus compliquée.
  • Outre l'incertitude sur (kappa), plusieurs auteurs ont signalé des écarts importants de (eta) par rapport à la valeur attendue proche de l'unité. Il y a des raisons de s'attendre à ce que les particules solides ne soient pas diffusées à la même vitesse que la quantité de mouvement du fluide, et que le rapport des deux vitesses de diffusion ne soit pas constant mais varie avec les propriétés à la fois du sédiment et de la turbulence du fluide. À l'heure actuelle, il n'existe aucun moyen satisfaisant de prédire la valeur de (eta). La prédiction ne deviendra vraisemblablement possible que lorsqu'il y aura une meilleure compréhension du mécanisme de diffusion.
  • Dans la théorie habituelle, le coefficient de diffusion des sédiments est supposé être proportionnel à la viscosité turbulente et à la distribution avec la profondeur donnée par l'équation ef{10.18}. Cette équation prédit que (varepsilon_{S}) (et (varepsilon)) tombent lentement à zéro à mesure que la surface libre est approchée. Comme les sédiments ne peuvent pas diffuser à travers la surface libre, (varepsilon_{S}) doit y être égal à zéro. Coleman (1970) a cependant calculéεs directement à partir des valeurs observées de (C) et (dC/dy) en utilisant l'équation ef{10.8}. Il a constaté qu'il n'y a une forte dépendance à la profondeur qu'à proximité du lit ; sur la plus grande partie de l'écoulement, et même assez près de la surface libre, (varepsilon_{S}) semble indépendant de la profondeur.

Pour toutes ces raisons, la théorie diffusionnelle de la suspension des sédiments, bien qu'elle soit une meilleure théorie que celle disponible pour la plupart des aspects du transport des sédiments, doit toujours être considérée comme quelque peu moins qu'entièrement satisfaisante.

Une note sur l'effet de l'accélération de la gravité sur le mouvement des sédiments

Il vaut la peine d'examiner comment le mouvement des sédiments et les configurations de lit dans les écoulements d'eau peuvent différer lorsque l'accélération de la gravité est différente. De retour au chapitre 8, dans la section sur les variables sans dimension), un ensemble de variables sans dimension a été développé dans lequel les principales variables dans un système de transport de sédiments, - variables avec des dimensions de longueur, comme la taille des particules, ou des variables avec des dimensions de vitesse - peut être organisé de telle manière que chacune des variables principales soit séquestrée dans sa propre version sans dimension. Dans chacune de ces variables, l'accélération de la gravité entre également. Si la gravité est différente, toute variable de longueur ou de vitesse dans un système dynamiquement similaire doit alors également être différente. Southard et Boguchwal (1990) montrent que, dans le cas de Mars, pour lequel l'accélération de la gravité n'est que d'environ (0,4) fois celle de la Terre, une longueur variable sur Mars serait d'environ (1,36) fois celle sur Terre, et une variable de vitesse sur Mars serait environ (0,74) fois celle sur Terre, pour un système dynamiquement similaire.

Références citées Chapitre 10

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Particle aggregation rate in a microchannel due to a dilute suspension flow

Particle-laden flow in a microchannel results in cluster formation and growth on the channel surface and the cluster growth, due to aggregation of polystyrene microparticles, has been investigated in this study. In particular, the initial stage of cluster growth is examined, where particle–cluster interaction is the dominant growth mechanism. Both experimental measurements and theoretical considerations were utilized to explore the functional dependence of the cluster growth rate on the following parameters: suspension void fraction, flow shear strain rate, and channel-height to particle-diameter ratio. The growth rate of an average cluster is found to increase linearly with suspension void fraction which is consistent with previous reports. The growth rate coefficient is found to obey a power-law relationship with respect to the shear strain rate, and predictions based on the modernized flocculation theory agree well with the experimental results. Furthermore, the growth rate coefficient obeys a power-law relationship with respect to the channel-height to particle-diameter ratio as well, qualitatively similar to other reported studies. However, to our knowledge, the exponent value estimated in this study does not agree with any previously published values this disagreement is likely due to differences in experimental conditions.


10.5: Suspension in a Shear Flow- The Diffusional Theory of Suspension - Geosciences

We report the rheology of a dilute ferrofluid droplet suspension under simple shear flow, using the three-dimensional lattice-Boltzmann simulation and the phase-field model. In our simulation, we utilize 12M computational grids to fully resolve the droplet deformation, and GPU parallelization is used to speed up the computation. The droplet deformation is determined by both the background shear flow and the external magnetic field effects. The ferrofluid droplet has a character to elongate in the direction of the external field, and a uniform static magnetic field is applied to the system to control the droplet shape. By changing the external field strength and direction, we found that the suspension rheologies can be drastically modified. The viscosity increase (decrease) with the external field when the external field is applied to the velocity gradient direction (velocity direction). Just by imposing the external magnetic field, the specific viscosity becomes 12 ∼620 % of the viscosity under no external magnetic field. The magnetic force is also practical to control the normal stresses, since the normal stress in i th direction decreases when the magnetic field is applied to the i th direction. Therefore, in order to increase (decrease) the first normal stress difference N 1 , the external magnetic field should be applied to the velocity direction (velocity gradient direction). To increase (decrease) the second normal stress difference N 2 , the external magnetic field should be applied to the velocity gradient direction (vorticity direction). By applying the magnetic field, we also show that the normal stresses N 1 , N 2 even show opposite sign from the normal droplet solution (N 1 >0 , N 2 <0 ) under small-Reynolds-number conditions. Our work suggests that the ferrofluid droplet would be a practical complex fluid to control the suspension properties, just by changing the external magnetic field strength and directions.


Shear thinning in non-Brownian suspensions explained by variable friction between particles

We propose to explain shear-thinning behaviour observed in most concentrated non-Brownian suspensions by variable friction between particles. Considering the low magnitude of the forces experienced by the particles of suspensions under shear flow, it is first argued that rough particles come into solid contact through one or a few asperities. In such a few-asperity elastic–plastic contact, the friction coefficient is expected not to be constant but to decrease with increasing normal load. Simulations based on the force coupling method and including such a load-dependent friction coefficient are performed for various particle volume fractions. The results of the numerical simulations are compared to viscosity measurements carried out on suspensions of polystyrene particles ( $40

unicode[STIX] ext$ in diameter) dispersed in a Newtonian silicon oil. The agreement is shown to be satisfactory. Furthermore, the comparison between the simulations conducted either with a constant or a load-dependent friction coefficient provides a model for the shear-thinning viscosity. In this model the effective friction coefficient $unicode[STIX]^$ is specified by the effective normal contact force which is simply proportional to the bulk shear stress. As the shear stress increases, $unicode[STIX]^$ decreases and the jamming volume fraction increases, leading to the reduction of the viscosity. Finally, using this model, we show that it is possible to evaluate the microscopic friction coefficient for each applied shear stress from the rheometric measurements.


Méthodes

Rheological data fitting procedure

Rheograms of the aqueous suspension of cornstarch are measured for various volume fractions in a narrow-gap cylindrical-Couette cell (Fig. 5a) using a rheometer (Anton Paar MCR 501). The height of the shear-cell (40 mm) is sufficiently large to neglect sedimentation effects of the particles during the measurement. Similarly to the procedure followed by Guy et al. 4 , the viscosity below (ττ * ) and above (ττ * ) the shear-thickening transition are extracted and plotted versus ϕ (Fig. 5b). The low viscosity branch (frictionless branch) is first fitted with (eta (phi )=_<(_<0>-phi )>^<-2>) , with ηs et ϕ0 as fitting parameters. This yields ηs = 0.91 ± 0.01 mPa.s and ϕ0 = 0.52 ± 0.005. The large viscosity branch (frictional branch) is then fitted with (eta (phi )=_<(_<1>-phi )>^<-2>) , using the previous estimation of ηs, and letting ϕ1 as the only fitting parameter. Note that the rheograms are obtained using both very rough (square symbols) and rough walls (circle symbols), by covering the cell-walls with sand papers of different grades (roughnesses of ≈80 μm and ≈15 μm, respectively). The two measurements overlap, except in the frictional branch at high volume fraction (shaded symbols in Fig. 5b). For instance, the data from ϕ = 0.4 and 0.41 are included in the fitting procedure, while 0.42 and 0.43 are not, because the first two points overlap, independently of the roughness of the boundaries, whereas for 0.42 and 0.43 systematic deviations are observed indicating slippage or other artefacts. All data points which are interpreted as biased measurements (transparent symbols) are discarded from the fitting procedure this yields ϕ1 = 0.43 ± 0.005. Once the values of ηs, ϕ0 et ϕ1 are set, we determine the value of τ * by fitting the full rheograms ( au (dot)) with Wyart & Cates laws: ( au =_<(_( au )-phi )>^<-2>dot) , with (_( au )=_<0>(1-^<-< au >^<* >/ au >)+_<1>^<-< au >^<* >/ au >) . The best fit, shown in Fig. 5c, is obtained for τ * = 12 ± 2 Pa. The value of τ * represents the critical shear stress required to overcome the inter-particle repulsive force and activate frictional contacts between particles. For an inter-particulate force F and a particle size , the critical shear stress is expected to be of order F/ 2 . The value we obtain (≈12 Pa) is consistent with the values already reported in the literature for cornstarch in water.

une Cylindrical-Couette geometry used to characterize the rheology of the aqueous suspension of cornstarch (yellow). The gray area represents the cylinder rotating in the direction indicated by the black arrow. b Viscosity (Pa.s) below (ττ * ) and above (ττ * ) the shear-thickening transition versus ϕ. Blue-solid-line: frictionless branch, red-solid-line: frictional branch, black-dashed-lines: jamming volume fractions for the frictionless and frictional branches defining ϕ0 et ϕ1, respectivement. Square and circle symbols correspond to measurements performed with different wall roughness. The data points made transparent are not used in the fitting procedure as for these points, the measurement depend on the wall roughness. c Shear stress τ versus shear rate (dot) measured at various volume fraction ϕ. Solid lines: Wyart & Cates rheological laws. The blue shaded area highlights the region where the rheograms are negatively sloped ( (< m>dot/< m> au <0) ).

Computation of τ c et R e c

To compute the critical shear stress τc and the critical Reynold number Rec from the instability criteria resulting from the linear stability analysis (Aequiv < m> ilde>/< m> ilde<< au >_><| >_< ilde<< au >_> = 1>=0) , we need to relate the shear rate (dotequiv _<0>/_<0>) , defined as the ratio of the depth-averaged flow velocity to the flow thickness, to the basal shear stress τb and the basal suspension viscosity η(τb).

For a steady uniform flow down an inclined plane of slope θ, the momentum equation applied to a surface layer of thickness h0z donne

where the second equality uses the definition of viscosity, (eta = au /(< m>hat/< m>z)) , and (hat(z)) is the local velocity parallel to X. From the proportionality between τ et h0z, the local velocity can be expressed as

Using the definition of the depth-averaged flow velocity, (_<0>=mathop olimits_<0>^<< au >_>hat( au ^ ) < m> au ^ /< au >_) , we obtain the expression of the depth-averaged shear rate

embeds the shear-thickening of the suspension. By definition, (>=1) for a Newtonian fluid.

Finally, the critical shear stress τc, at which the flow destabilizes (black-solid-line plotted in Fig. 2b of the main text), is obtained numerically by finding the value of τb for which UNE(τc) = 0, i.e., (>(< au >_=< au >_)=3/2) . From the value of τc, we obtain the critical Reynolds number (black-solid-line plotted in Fig. 2(a) of the main text)


Rheology discussions: The physics of dense suspensions

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      Theme 1: Microscopic Interactions—measurements, models, and method development—Discussion leaders: John Brady, Jacinta Conrad, and Meera Ramaswamy

      Theme 2: Statistical Mechanics Framework—network formation and fluctuations—Discussion leaders: Heinrich Jaeger, Romain Mari, and Poornima Padmanabhan

      Theme 3: Constitutive Models—nonlinear models, hysteresis, and normal stress—Discussion leaders: Gareth McKinley, Peter Olmsted, and Rahul Chacko and

      Theme 4: More Complex System—geomorphology, soft particles, and viscoelastic suspensions—Discussion leaders: Chinedum Osuji, Itai Cohen, and Ruel McKenzie.


      Conclusion

      Nonlinear rheology measurements reveal that at low rod volume fractions ( φ / φ * ≤ 2.5) and low steady shear rates (Per < 100), attractive rod suspensions exhibit flow instabilities and form large heterogeneities along the vorticity direction. Similar results were obtained using Brownian dynamics simulations. For Mason number, Mn < 1, the interparticle attraction forces dominate and particle aggregates remain and restructure under shear. When the aggregate growth is restricted due to confinement in the flow-gradient plane, cluster grows in the flow-vorticity plane eventually creating log rolling flocs. We also show that large gaps lead to other phenomena such as slip or shear banding as shown in ESI,† for an experiment with h = 500 μm. Simulations show that hydrodynamic forces prevent the flocs from colliding with each other while maintaining a distance between them of about three times (actually 2.7) the channel (or gap) height. Both in experiments and simulations, rods do not form any locally oriented structure within the densely packed flocs. A state diagram identifies the regimes of vorticity aligned floc formation as a function of rod volume fraction and Mason number.

      The effects introduced by particle anisotropy on yielding and the log-rolling phenomena may be multiple. Firstly, particle shape anisotropy shifts the volume fractions associated with the transition to lower values compared to spheres. Due to this, shear induced clusters along the vorticity direction of rods are less dense than those of spheres which due to higher bending ability and intracluster rearrangements may densify more than their rod-like counterparts. Note that the latter have the additional degree of orientational freedom where nematic clusters would have a much higher density than isotropic ones. In the present system however, there is direct experimental evidence, backed by computer simulations, that local bending rigidity restricts rod reorientation thereby freezing the rotational degrees of freedom and hindering the internal structures from evolving towards clusters of nematic buddles. As was shown DLCA clusters of colloidal spheres undergo considerable deformation, such as unwinding, before rupturing whereas the same was not observed in the corresponding rods. 91 This reflects the inextensibility (or lack of internal degrees of freedom) of a rod in comparison to a linear array of spheres with the same aspect ratio.

      Our study shows that flow instabilities such as vorticity aligned floc formation arise when highly heterogeneous attractive particle suspensions flow through confined geometry. The fact that the phenomenon itself is independent of particle aspect ratio proves its universality and needs to be given due consideration when performing fundamental and application oriented studies in formulations including attractive colloids.


      Seasonal Growth and Senescence of a Zostera marina Seagrass Meadow Alters Wave-Dominated Flow and Sediment Suspension Within a Coastal Bay

      Tidally driven flows, waves, and suspended sediment concentrations were monitored seasonally within a Zostera marina seagrass (eelgrass) meadow located in a shallow (1–2 m depth) coastal bay. Eelgrass meadows were found to reduce velocities approximately 60 % in the summer and 40 % in the winter compared to an adjacent unvegetated site. Additionally, the seagrass meadow served to dampen wave heights for all seasons except during winter when seagrass meadow development was at a minimum. Although wave heights were attenuated across the meadow, orbital motions caused by waves were able to effectively penetrate through the canopy, inducing wave-enhanced bottom shear stress (τ b). Within the seagrass meadow, τ b was greater than the critical stress threshold (=0.04 Pa) necessary to induce sediment suspension 80–85 % of the sampling period in the winter and spring, but only 55 % of the time in the summer. At the unvegetated site, τ b was above the critical threshold greater than 90 % of the time across all seasons. During low seagrass coverage in the winter, near-bed turbulence levels were enhanced, likely caused by stem–wake interaction with the sparse canopy. Reduction in τ b within the seagrass meadow during the summer correlated to a 60 % reduction in suspended sediment concentrations but in winter, suspended sediment was enhanced compared to the unvegetated site. With minimal seagrass coverage, τ b and wave statistics were similar to unvegetated regions however, during high seagrass coverage, sediment stabilization increased light availability for photosynthesis and created a positive feedback for seagrass growth.

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      2 Constitutive model and flow regime map

      2.1 Model description

      We first present a rheological equation that is able to capture the viscous, inertial, quasistatic and soft-particle flow regimes. 16 This model is inspired by the inertial number model 8,9 (for inertial number , with confining pressure P ), its extension to viscous flows 43 (for viscous number I V = η F/ P ), and their proposed unification by Trulsson. 15 The equation gives a prediction for the scaled (by particle hardness) pressure ( = Pd / k m) as a function of the scaled shear rate and the departure of the solids volume fraction ϕ from its critical value for jamming, 13 ϕ c, in each of three regimes: (1) the hard particle regime corresponding to viscous and inertial flows (2) the soft particle regime corresponding to deformable particle flows (3) the quasistatic, “jammed” regime:
      (1a)
      (1b)
      (1c)
      with the constants given by Ness and Sun. 16 An arbitrary blending function is chosen, following Chialvo et al. , 7 to combine pressure predictions from each of the expressions. The corresponding shear stresses σ xy are obtained from a μ ( K = I V + αI je 2 ) model, 15,16 an extension of the commonplace μ ( I je) rheology: 9
      μ ( K ) = μ 1 + 1.2 K 1/2 + 0.5 K . (2)
      The rheology predicted by eqn (1) and (2) is presented in detail in ref. 16. We next incorporate a frictional shear thickening mechanism into this model using a stress-dependent critical volume fraction ϕ c, following the approach used by Wyart and Cates. 33 The critical volume fraction depends on the interparticle friction coefficient μ p, 44 varying from ϕ m ≈ 0.58 to ϕ 0 ≈ 0.64 in the limits of highly frictional ( μ p = 1) and frictionless ( μ p = 0) particles, respectively. Note that tangential forces saturate rapidly above μ p ≈ 1, meaning rheology becomes nearly independent of μ p for μ p > 1. From the simulation model described in Section 3.1, we find that under shear flow, the rescaled pairwise particle–particle contact force magnitudes θ = | F c je|/ Pd 2 are distributed according to
      PDF( θ ) = a (1 − b exp(− θ 2 ))exp(− cθ ), (3)
      consistent with previous authors. 45,46 The fraction of particle contacts for which the repulsive force magnitude F CL is exceeded and friction is activated is therefore given by
      (4)
      implying (except for very weak contacts) that frictional forces arise in the system above P * according to f ∝ exp(− P */ P ). We therefore use f to represent a transition from frictionless to frictional rheology with increasing P . The value set for P * (which is directly related to the repulsive force magnitude F CL ) determines the critical pressure (or critical characteristic shear rate) at which the model will begin to predict frictional rheology, as described later. We subsequently calculate the (stress-dependent) critical volume fraction for jamming ϕ c using an expression similar to the crossover function proposed by Wyart and Cates 33
      ϕ c = ϕ m f + ϕ 0(1 − f ). (5)
      The expression for μ ( K ), along with that proposed by Boyer, 43 assumes a constant value for the macroscopic friction μ 1 (= σ xy/ P = 0.38) in the limit of K → 0. As demonstrated by da Cruz et al. , 47 μ 1 is actually strongly dependent on interparticle friction μ p, particularly for μ p close to 0, so assuming a constant value across shear thickening states is clearly not appropriate. We therefore propose a similar crossover function for μ 1 (consistent with that proposed by Sun and Sundaresan 44 for dry granular materials) which we find gives excellent agreement with the following simulation results
      μ 1 = μ 1m f + μ 10(1 − f ), (6)
      where μ 1m = 0.41 and μ 10 = 0.11. 44 We obtain the viscosity of the suspension relative to that of the interstitial fluid according to .

      2.2 Flow map and experimental evidence

      Fig. 1 Steady state rheological regime map for a shear thickening suspension, illustrating the frictional thickening transition within the viscous regime, shear jamming, inertial shear thickening, quasistatic behaviour and deformational behaviour associated with soft particle rheology.

      The predicted rheology in Fig. 1 (parameters for which are derived from our simulation data presented previously 16 and below) for characteristic shear rates <1 is well corroborated by recent experimental data in shear flows of polymer-coated PMMA spheres. 29 Quantitatively, comparing shear thickened relative suspension viscosities η s at | ϕ − ϕ c| ≈ 0.02 yields around 8 × 10 2 for simulations versus 10 3 from experiments. The viscous-to-inertial transition at characteristic shear rate = 1 is well documented experimentally in the literature 14,48 and a quantitative comparison is made below. Furthermore, the quasistatic and soft particle regimes, and most notably their loss of volume fraction dependence at very large rates, are consistent with experimental results in very soft particles 39 and associated theory. 49

      2.3 Tuning the frictional transition


      Contenu

      There are two types of deviation from Newton's Law that are observed in real systems. The most common deviation is shear thinning behavior, where the viscosity of the system decreases as the shear rate is increased. The second deviation is shear thickening behavior where, as the shear rate is increased, the viscosity of the system also increases. This behavior is observed because the system crystallizes under stress and behaves more like a solid than a solution. [3] Thus, the viscosity of a shear-thickening fluid is dependent on the shear rate. The presence of suspended particles often affects the viscosity of a solution. In fact, with the right particles, even a Newtonian fluid can exhibit non-Newtonian behavior. An example of this is cornstarch in water and is included in the Examples section below.

      The parameters that control shear thickening behavior are: particle size and particle size distribution, particle volume fraction, particle shape, particle-particle interaction, continuous phase viscosity, and the type, rate, and time of deformation. In addition to these parameters, all shear thickening fluids are stabilized suspensions and have a volume fraction of solid that is relatively high. [4]

      Viscosity of a solution as a function of shear rate is given via the Power Law equation, [5] where η is the viscosity, K is a material-based constant, and γ̇ is the applied shear rate.

      Dilatant behavior occurs when n is greater than 1.

      Below is a table of viscosity values for some common materials. [6] [7] [8]

      Matériel Viscosity (cP)
      Benzène 0.60
      Carbon Tetrachloride 0.88
      Éthanol 1.06
      Eau 1 to 5
      Mercure 1.55
      Pentane 2.24
      Sang 10
      Anti-Freeze 14
      Sulfuric Acid 27
      Maple Syrup 150–200
      Mon chéri 2,000–3,000
      Chocolate Syrup 10,000–25,000
      Ketchup 50,000–70,000
      Peanut Butter 150,000–250,000

      Stabilized suspensions Edit

      A suspension is composed of a fine, particulate phase dispersed throughout a differing, heterogeneous phase. Shear-thickening behavior is observed in systems with a solid, particulate phase dispersed within a liquid phase. These solutions are different from a Colloid in that they are unstable the solid particles in dispersion are sufficiently large for sedimentation, causing them to eventually settle. Whereas the solids dispersed within a colloid are smaller and will not settle. There are multiple methods for stabilizing suspensions, including electrostatics and sterics.

      In an unstable suspension, the dispersed, particulate phase will come out of solution in response to forces acting upon the particles, such as gravity or Hamaker attraction. The magnitude of the effect these forces have on pulling the particulate phase out of solution is proportional to the size of the particulates for a large particulate, the gravitational forces are greater than the particle-particle interactions, whereas the opposite is true for small particulates. Shear thickening behavior is typically observed in suspensions of small, solid particulates, indicating that the particle-particle Hamaker attraction is the dominant force. Therefore, stabilizing a suspension is dependent upon introducing a counteractive repulsive force.

      Hamaker theory describes the attraction between bodies, such as particulates. It was realized that the explanation of Van der Waals forces could be upscaled from explaining the interaction between two molecules with induced dipoles to macro-scale bodies by summing all the intermolecular forces between the bodies. Similar to Van der Waals forces, Hamaker theory describes the magnitude of the particle-particle interaction as inversely proportional to the square of the distance. Therefore, many stabilized suspensions incorporate a long-range repulsive force that is dominant over Hamaker attraction when the interacting bodies are at a sufficient distance, effectively preventing the bodies from approaching one another. However, at short distances, the Hamaker attraction dominates, causing the particulates to coagulate and fall out of solution. Two common long-range forces used in stabilizing suspensions are electrostatics and sterics.

      Electrostatically stabilized suspensions Edit

      Suspensions of similarly charged particles dispersed in a liquid electrolyte are stabilized through an effect described by the Helmholtz double layer model. The model has two layers. The first layer is the charged surface of the particle, which creates an electrostatic field that affects the ions in the electrolyte. In response, the ions create a diffuse layer of equal and opposite charge, effectively rendering the surface charge neutral. However, the diffuse layer creates a potential surrounding the particle that differs from the bulk electrolyte.

      The diffuse layer serves as the long-range force for stabilization of the particles. When particles near one another, the diffuse layer of one particle overlaps with that of the other particle, generating a repulsive force. The following equation provides the energy between two colloids as a result of the Hamaker interactions and electrostatic repulsion.

      V = energy between a pair of colloids, R = radius of colloids, −H = Hamaker constant between colloid and solvent, h = distance between colloids, C = surface ion concentration, k = Boltzmann constant, T = temperature in kelvins, Γ = surface excess, κ = inverse Debye length.

      Sterically stabilized suspensions Edit

      Different from electrostatics, sterically stabilized suspensions rely on the physical interaction of polymer chains attached to the surface of the particles to keep the suspension stabilized the adsorbed polymer chains act as a spacer to keep the suspended particles separated at a sufficient distance to prevent the Hamaker attraction from dominating and pulling the particles out of suspension. The polymers are typically either grafted or adsorbed onto the surface of the particle. With grafted polymers, the backbone of the polymer chain is covalently bonded to the particle surface. Whereas an adsorbed polymer is a copolymer composed of lyophobic and lyophilic region, where the lyophobic region non-covalently adheres to the particle surface and the lyophilic region forms the steric boundary or spacer.

      Dilatancy in a colloid, or its ability to order in the presence of shear forces, is dependent on the ratio of interparticle forces. As long as interparticle forces such as Van der Waals forces dominate, the suspended particles remain in ordered layers. However, once shear forces dominate, particles enter a state of flocculation and are no longer held in suspension they begin to behave like a solid. When the shear forces are removed, the particles spread apart and once again form a stable suspension.

      Shear thickening behavior is highly dependent upon the volume fraction of solid particulate suspended within the liquid. The higher the volume fraction, the less shear required to initiate the shear thickening behavior. The shear rate at which the fluid transitions from a Newtonian flow to a shear thickening behavior is known as the critical shear rate.

      Order to disorder transition Edit

      When shearing a concentrated stabilized solution at a relatively low shear rate, the repulsive particle-particle interactions keep the particles in an ordered, layered, equilibrium structure. However, at shear rates elevated above the critical shear rate, the shear forces pushing the particles together overcome the repulsive particle-particle interactions, forcing the particles out of their equilibrium positions. This leads to a disordered structure, causing an increase in viscosity. [9]

      The critical shear rate here is defined as the shear rate at which the shear forces pushing the particles together are equivalent to the repulsive particle interactions.

      Hydroclustering Edit

      When the particles of a stabilized suspension transition from an immobile state to mobile state, small groupings of particles form hydroclusters, increasing the viscosity. These hydroclusters are composed of particles momentarily compressed together, forming an irregular, rod-like chain of particles akin to a logjam or traffic jam. In theory the particles have extremely small interparticle gaps, rendering this momentary, transient hydrocluster as incompressible. It is possible that additional hydroclusters will form through aggregation. [dix]

      Corn starch and water (oobleck) Edit

      Cornstarch is a common thickening agent used in cooking. It is also a very good example of a shear thickening system. When a force is applied to a 1:1.25 mixture of water and cornstarch, the mixture acts as a solid and resists the force.

      Silica and polyethylene glycol Edit

      Silica nano-particles are dispersed in a solution of polyethylene glycol. The silica particles provide a high strength material when flocculation occurs. This allows it to be used in applications such as liquid body armor and brake pads.

      Traction control Edit

      Dilatant materials have certain industrial uses due to their shear thickening behavior. For example, some all wheel drive systems use a viscous coupling unit full of dilatant fluid to provide power transfer between front and rear wheels. On high traction road surfacing, the relative motion between primary and secondary drive wheels is the same, so the shear is low and little power is transferred. When the primary drive wheels start to slip, the shear increases, causing the fluid to thicken. As the fluid thickens, the torque transferred to the secondary drive wheels increases proportionally, until the maximum amount of power possible in the fully thickened state is transferred. See also: limited slip differential, some types of which operate on the same principle. To the operator, this system is entirely passive, engaging all four wheels to drive when needed, and dropping back to two wheel drive once the need has passed. This system is generally used for on-road vehicles rather than off-road vehicles, since the maximum viscosity of the dilatant fluid limits the amount of torque that can be passed across the coupling.

      Body armor Edit

      Various corporate and government entities are researching the application of shear thickening fluids for use as body armor. Such a system could allow the wearer flexibility for a normal range of movement, yet provide rigidity to resist piercing by bullets, stabbing knife blows, and similar attacks. The principle is similar to that of mail armor, though body armor using a dilatant would be much lighter. The dilatant fluid would disperse the force of a sudden blow over a wider area of the user's body, reducing the blunt force trauma. However, against slow attacks which would allow flow to occur, such as a slow but forceful stab, the dilatant would not provide any additional protection. [11]

      In one study, standard Kevlar fabric was compared to a composite armor of Kevlar and a proprietary shear-thickening fluid. The results showed that the Kevlar/fluid combination performed better than the pure-Kevlar material, despite having less than one-third the Kevlar thickness. [11]

      Four examples of dilatant materials being used in personal protective equipment are Armourgel, d3o, ArtiLage ( Artificial Cartilage foam) and 'Active Protection System', manufactured by Dow Corning. [12]

      In 2002, researchers at the U.S. Army Research Laboratory and University of Delaware began researching the use of liquid armor, or a shear-thickening fluid in body armor. Researchers demonstrated that high-strength fabrics such as Kevlar can be made more bulletproof and stab-resistant when impregnated with the fluid. [13] [14] The goal of the “liquid armor” technology is to create a new material that is low cost and lightweight while still offering equivalent or superior ballistic properties compared to current Kevlar fabric. [15]

      For their work on liquid armor, Dr. Eric Wetzel, an ARL mechanical engineer, and his team were awarded the 2002 Paul A. Siple Award, the Army’s highest award for scientific achievement, at the Army Science Conference. [16]


      Voir la vidéo: Understanding Viscosity