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Trouver de petits polygones à l'intérieur de grands polygones

Trouver de petits polygones à l'intérieur de grands polygones


J'essaie sans succès de trouver une solution au problème dans ArcGIS et c'est la raison pour laquelle j'envoie ce message.

J'ai un fichier de formes de polygones avec des codes postaux pour l'Afrique du Sud (pas d'écart, pas de chevauchement). Il y a quelques petits polygones qui semblent être des codes de boîte à l'intérieur de grands polygones (code de rue) et j'aimerais les identifier ou les sélectionner. Le problème : je n'ai aucun attribut dans le tableau pour faire un classement (Box code vs code de la rue).

Je recherche un outil ou une méthode dans ArcGIS pour identifier des polygones à l'intérieur de polygones à l'aide d'un seul fichier de formes.


Je propose un processus en deux étapes :

  1. Exécutez Polygon Neighbors, qui générera un tableau répertoriant tous les polygones voisins pour chaque polygone. Tout petit polygone (code de boîte) qui est complètement entouré par un autre polygone (code de rue) doit ne se présenter qu'une seule fois dans les résultats.

  2. Résumez le champ répertoriant les polygones sources, en utilisantCOMPTERcomme statistique récapitulative d'intérêt. Dans le tableau résultant, tous les polygones avec unCOMPTERégal à 1 n'aura qu'un seul voisin.

Il pourrait y avoir des faux positifs avec cette méthode - en particulier, des codes postaux le long de la frontière du pays qui ne rencontrent qu'un seul autre code postal.


Cartes et globes en réalité virtuelle

Cet article explore différentes manières de rendre des cartes géographiques mondiales en réalité virtuelle (VR). Nous comparons : (a) un globe exocentrique 3D, où le point de vue de l'utilisateur est à l'extérieur du globe (b) une carte plate (rendu à un plan en VR) (c) un globe 3D égocentrique, avec le point de vue à l'intérieur du globe et (d) une carte incurvée, créée en projetant la carte sur une section d'une sphère qui s'incurve autour de l'utilisateur. Dans les quatre visualisations, le centre géographique peut être ajusté en douceur avec un contrôleur VR portable standard et l'utilisateur, via un casque à suivi de la tête, peut se déplacer physiquement dans la visualisation. Pour la comparaison des distances, le globe exocentrique est plus précis que le globe égocentrique et la carte plate. Pour la comparaison des zones, il faut plus de temps avec les globes exocentriques et égocentriques qu'avec les cartes plates et courbes. Pour l'estimation de la direction, le globe exocentrique est plus précis et plus rapide que les autres présentations visuelles. Les participants à notre étude avaient une faible préférence pour le globe exocentrique. Généralement, la carte incurvée présentait des avantages par rapport à la carte plate. Dans presque tous les cas, le globe égocentrique s'est avéré être la visualisation la moins efficace. Dans l'ensemble, nos résultats soutiennent l'utilisation de globes exocentriques pour la visualisation géographique en réalité mixte.

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JP2005535039A - Interagir avec des clients de bureau avec des systèmes de recherche de texte géographique - Google Patents

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データ収集部
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file d'attente de pages)
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analyseur de mots-clés)
classement des documents spatiaux)
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データ入力制御部
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commentaires d'utilisation du domaine)
884 ワード対領域提案部(suggestion de domaine de mots)
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単語IDフィールド
word_occurrences)フィールド
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単語IDフィールド
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文書ID(doc_id)フィールド
文書品質(qualité_document
空間的参照分割機能部(partitionneur de références spatiales multiples)
ページにおける位置
終わりからの距離
他の« SI »の数
4527 文章内(dans la phrase)
重要性
ネットワークの連結性
手動の更新
再帰的空間インデックス付加サブルーチン(sous-routine d'indexation spatiale récursive):RSIS)
マルチパート集団測定部

20 Système informatique 22 Périphérique de stockage 24 Unité de collecte de service 30 Unité de collecte de données 32 Méta-chercheur 34 File d'attente de pages
36 Crawler 40 Data Analysis Unit 42 Spatial Recognition Unit 43 Spatial Coding Unit (codeur spatial)
44 analyseur de mots clés
45 Classement spatial des documents
46 Indexeur
48 Département pionnier 50 Département de récupération 56 Classeur de documents
57 Classeur d'icônes
60 Unité de présentation des données 62 Serveur d'interface utilisateur 64 Client 65 Unité de profil utilisateur 70 Serveur de portail
80 Interface cartographique 100 Ordinateur 102 Application client côté utilisateur (UC) 104 Support de transfert (TM)
106 middleware Catcher (CM)
110 Serveur GTS 120 Zone de récupération GTS 222 Référentiel de pages 224 Dictionnaire spatial (lexique spatial)
dictionnaire de 225 mots 227 exemples de mots (word_instances)
228 Table de qualité théorique des documents 340 Table de file d'attente de pages 342 Champ de niveau de pertinence spatiale
426 marqueur de pertinence
codeur d'adresse 432
434 encodeur de localité
436 encodeur de numéro de téléphone
438 Inférence de valeur spatiale (SMI)
439 Unité de mesure de déséquilibre 442 Reconnaissance de balise
452 Adéquation document-lieu 454 Adéquation document-mot 456 Qualité théorique 462 Indexeur spatial
465 Indexeur de mots-clés spatiaux
Convertisseur de 466 degrés d'arbre
502 Indice spatial
503 Index spatial des documents
505 Index de document de mot-clé spatial 506 Arbre de mot-clé 508 Arbre de mot (arbre lexical)
801 Calculateur de saisie des mots-clés 802 Invite de mots-clés 803 Calculateur de saisie des données 804 Calculateur de soumission 805 Carte 806 Contrôles de saisie des critères spatiaux
807 Invite de référence spatiale 808 Contrôleur de saisie de données 809 Contrôle de soumission
810 Icône 812 Légende de l'icône 817 Légende du grade de l'icône 818 Visage de l'icône
830 Unité de commande mode carte 832 Panoramique 834 Zoom 836 Écrire des notes 850 Affichage des filtres généraux 852 Filtres généraux
854 filtres d'historique de recherche
856 filtre inféré
857 filtre data-mined
860 Affichage du filtre spécifique à l'utilisateur 861 Contrôles d'entrée de connexion au compte
862 Invite de connexion au compte 863 Contrôleur de saisie de données 864 Contrôleur de soumission 870 Sticky-note électronique
880 contrôle des commentaires de la communauté
882 commentaires sur l'utilisation du domaine
Suggestion de domaine de 884 mots
886 suggestion mot-mot
891 Barre de zoom 892 Limite de la carte 2252 Champ Word 2254 Champ Word ID 2256 Champ Word presence (word_occurrences) 2262 Base de données de toutes les villes connues aux États-Unis 2266 Table Phone-to-location 2272 Champ Word ID 2274 Champ ID document 2276 Word-to- Compatibilité du document float (Word-doc pertinence float) champ 2281 ID du document (doc_id) champ 2283 qualité du document (document_quality) champ 4262 partitionneur de références spatiales multiples
Position à la page 4521 4523 Distance de fin 4525 Nombre d'autres « SI » 4527 Dans la phrase
4529 Importance 4562 Connectivité réseau 4564 Mise à jour manuelle 4620 Sous-routine d'indexation spatiale récursive (RSIS)
42625 Unité de mesure de population en plusieurs parties


Transcription de la présentation

Concepts du système de base de données • Chapitre 1 : Introduction • Partie 1 : Bases de données relationnelles • Chapitre 2 : Modèle relationnel • Chapitre 3 : SQL • Chapitre 4 : SQL avancé • Chapitre 5 : Autres langages relationnels • Partie 2 : Conception de bases de données • Chapitre 6 : Conception de bases de données et l'ER Modèle • Chapitre 7 : Conception de bases de données relationnelles • Chapitre 8 : Conception et développement d'applications • Partie 3 : Bases de données basées sur des objets et XML • Chapitre 9 : Bases de données basées sur des objets • Chapitre 10 : XML • Partie 4 : Stockage de données et interrogation • Chapitre 11 : Stockage et structure de fichiers • Chapitre 12 : Indexation et hachage • Chapitre 13 : Traitement des requêtes • Chapitre 14 : Optimisation des requêtes • Partie 5 : Gestion des transactions • Chapitre 15 : Transactions • Chapitre 16 : Contrôle de la concurrence • Chapitre 17 : Système de récupération • Partie 6 : Data Mining and Information Retrieval • Chapitre 18 : Data Analysis and Mining • Chapitre 19 : Information Retrieval • Partie 7 : Architecture du système de base de données • Chapitre 20 : Architecture du système de base de données • Chapitre 21 : Bases de données parallèles • Chapitre 22 : Bases de données distribuées • Partie 8 : Autres sujets • Chapitre 23 : Développement d'applications avancées • Chapitre 24 : Types de données avancés et nouvelles applications • Chapitre 25 : Traitement avancé des transactions • Partie 9 : Études de cas • Chapitre 26 : PostgreSQL • Chapitre 27 : Oracle • Chapitre 28 : IBM DB2 • Chapitre 29 : Microsoft SQL Server • Annexes en ligne • Annexe A : Modèle de réseau • Annexe B : Modèle hiérarchique • Annexe C : Modèle de base de données relationnelle avancée

Partie 8 : Autres sujets (Chapitres 23 à 25). • Chapitre 23 : Développement d'applications avancé • couvre les tests de performances, le réglage des performances et la normalisation. • Chapitre 24 : Types de données avancés et nouvelles applications • couvre les types de données avancés et les nouvelles applications, notamment les données temporelles, les données spatiales et géographiques, les données multimédias et les problèmes de gestion des bases de données mobiles et personnelles. • Chapitre 25 : Traitement avancé des transactions • traite du traitement avancé des transactions. Nous discutons des moniteurs de traitement des transactions, des systèmes de transaction haute performance, des systèmes de transaction en temps réel et des workflows transactionnels.

24.1 Motivation 24.2 Temps dans les bases de données 24.3 Données spatiales et géographiques 24.4 Bases de données multimédias 24.5 Mobilité et bases de données personnelles 24.6 Aperçu récapitulatif : types de données avancés et nouvelles applications

Motivation • Données temporelles • Données sur l'état actuel et les états passés • Données spatiales • Données géographiques telles que les cartes et les informations associées • Données de conception assistée par ordinateur telles que VLSI ou la conception de bâtiments • Données multimédias : • données image, vidéo et audio • doivent être récupérées à un débit constant, un débit prédéterminé • ce qu'on appelle des données multimédias continues • Données mobiles • ordinateurs portables, appareils informatiques de poche • connectés à des stations de base via des réseaux numériques sans fil

24.1 Motivation 24.2 Temps dans les bases de données 24.3 Données spatiales et géographiques 24.4 Bases de données multimédias 24.5 Mobilité et bases de données personnelles 24.6 Aperçu sommaire : types de données avancés et nouvelles applications

Alors que la plupart des bases de données ont tendance à modéliser la réalité à un moment temps (à l'heure « actuelle »), les bases de données temporelles modélisent les états du monde réel à travers le temps. Temps de validité : les faits dans les relations temporelles ont des temps associés lorsqu'ils sont valides dans le monde réel, qui peuvent être représentés comme une union d'intervalles. Temps de transaction : Le temps de transaction pour un fait est l'intervalle de temps pendant lequel le fait est en cours dans le système de base de données. Dans une relation temporelle, chaque tuple a une heure associée lorsqu'elle est vraie. L'heure peut être soit une heure valide, soit une heure de transaction. La relation bi-temporelle stocke à la fois le temps de validité et de transaction. Temps dans les bases de données

Exemple de relation temporelle : Des langages de requêtes temporelles ont été proposés pour simplifier la modélisation du temps ainsi que les requêtes liées au temps. Temps dans les bases de données (suite)

date : quatre chiffres pour l'année (1--9999), deux chiffres pour le mois (1--12) et deux chiffres pour la date (1--31). heure : deux chiffres pour l'heure, deux chiffres pour la minute et deux chiffres pour la seconde, plus des chiffres fractionnaires facultatifs. horodater les champs de date et d'heure, avec six chiffres fractionnaires pour le champ des secondes. Les heures sont précisées dans le temps universel coordonné abrégé UTC (du français) prend en charge l'heure avec fuseau horaire. L'intervalle fait référence à une période de temps (par exemple, 2 jours et 5 heures), sans spécifier une heure particulière à laquelle cette période commence. Spécification de l'heure en SQL-92

Les prédicats précèdent, chevauchent et contiennent des intervalles de temps. Intersect peut être appliqué sur deux intervalles, pour donner un seul intervalle (éventuellement vide), l'union de deux intervalles peut ou non être un seul intervalle. Un instantané d'une relation temporelle à l'instant t se compose des tuples qui sont valides à l'instant t, avec les attributs d'intervalle de temps projetés. Sélection temporelle : implique des attributs de temps Projection temporelle : les tuples dans la projection héritent de leurs intervalles de temps des tuples dans la relation d'origine. Jointure temporelle : l'intervalle de temps d'un tuple dans le résultat est l'intersection des intervalles de temps des tuples dont il est dérivé. Si l'intersection est vide, le tuple est supprimé de la jointure. SQL:1999 Part 7 (SQL/Temporal) est une extension proposée de SQL:1999 pour améliorer la prise en charge des données temporelles. Langages de requêtes temporelles

Les dépendances fonctionnelles doivent être utilisées avec précaution l'ajout d'un champ de temps peut invalider la dépendance fonctionnelle Une dépendance fonctionnelle temporelle x  Y tient sur un schéma de relation R si, pour toutes les instances légales r de R, tous les instantanés de r satisfont la dépendance fonctionnelle X  Y. Dépendance fonctionnelle temporelle  FD temporelle 예제 relation 추가

24.1 Motivation 24.2 Temps dans les bases de données 24.3 Données spatiales et géographiques 24.4 Bases de données multimédias 24.5 Mobilité et bases de données personnelles 24.6 Aperçu sommaire : types de données avancés et nouvelles applications

Les bases de données spatiales stockent des informations relatives à emplacements et prennent en charge le stockage, l'indexation et l'interrogation efficaces des données spatiales. Les structures d'index à usage spécial sont importantes pour accéder aux données spatiales et pour traiter les requêtes de jointure spatiale. Les bases de données de conception assistée par ordinateur (CAO) stockent des informations de conception sur la façon dont les objets sont construits.

Diverses constructions géométriques peuvent être représentées dans un base de données de manière normalisée. Représenter un segment de ligne par les coordonnées de ses extrémités. Approximer une courbe en la partitionnant en une séquence de segments Créer une liste de sommets dans l'ordre, ou Représenter chaque segment comme un tuple séparé qui porte également avec lui l'identifiant de la courbe (entités 2D telles que les routes). Polygones fermés Liste des sommets dans l'ordre, le sommet de départ est le même que le sommet de fin, ou Représenter les arêtes de frontière sous forme de tuples séparés, chacun contenant l'identifiant du polygone, ou Utiliser la triangulation — diviser le polygone en triangles Notez l'identifiant du polygone avec chacun de ses triangles . Représentation des informations géométriques

Représentation des points et des segments de droite en 3-D similaire à 2-D, sauf que les points ont une composante z supplémentaire Représenter des polyèdres arbitraires en les divisant en tétraèdres, comme des polygones triangulants. Alternative : listez leurs faces, chacune étant un polygone, avec une indication du côté de la face qui se trouve à l'intérieur du polyèdre. Représentation des objets 3D Polyèdres : 다면체 Tétraèdres : 4면체

Représenter les composants de conception comme des objets (généralement géométriques objets) les connexions entre les objets indiquent comment la conception est structurée. Points d'objets bidimensionnels simples, lignes, triangles, rectangles, polygones. Objets bidimensionnels complexes formés à partir d'objets simples via des opérations d'union, d'intersection et de différence. Objets tridimensionnels complexes formés à partir d'objets plus simples tels que des sphères, des cylindres et des cuboïdes, par des opérations d'union, d'intersection et de différence. Les modèles filaires représentent des surfaces tridimensionnelles comme un ensemble d'objets plus simples. Concevoir des bases de données Sphère : 구, 지구본 Cuboïde : 직평행6면체

Les bases de données de conception stockent également des informations non spatiales sur objets (par exemple, matériau de construction, couleur, etc.) Les contraintes d'intégrité spatiale sont importantes. Par exemple, les tuyaux ne doivent pas se croiser, les fils ne doivent pas être trop proches les uns des autres, etc. Représentation des constructions géométriques (a) Différence des cylindres (b) Union des cylindres

Les données raster sont constituées de bitmaps ou de pixels maps, en deux ou plus de dimensions. Exemple d'image raster 2D : image satellite de la couverture nuageuse, où chaque pixel stocke la visibilité des nuages ​​dans une zone particulière. Des dimensions supplémentaires peuvent inclure la température à différentes altitudes dans différentes régions, ou des mesures prises à différents moments. Les bases de données de conception ne stockent généralement pas de données raster Données géographiques

Les données vectorielles sont construites à partir d'objets géométriques de base points, segments de ligne, triangles et autres polygones en deux dimensions, et cylindres, sphères, cuboïdes et autres polyèdres en trois dimensions. Format vectoriel souvent utilisé pour représenter les données cartographiques. Les routes peuvent être considérées comme bidimensionnelles et représentées par des lignes et des courbes. Certaines entités, telles que les rivières, peuvent être représentées soit sous forme de courbes complexes, soit sous forme de polygones complexes, selon que leur largeur est pertinente ou non. Les entités telles que les régions et les lacs peuvent être représentées sous forme de polygones. Données géographiques (suite)

Exemples de données géographiques données cartographiques pour la navigation des véhicules informations sur le réseau de distribution pour l'électricité, les téléphones, l'approvisionnement en eau et les eaux usées Les systèmes de navigation pour véhicules stockent des informations sur les routes et les services à l'usage des conducteurs : Données spatiales : par exemple, coordonnées route/restaurant/station-service Données non spatiales : par exemple, les rues à sens unique, les limitations de vitesse, les embouteillages Le système de positionnement global (GPS) utilise les informations diffusées par les satellites GPS pour trouver l'emplacement actuel de l'utilisateur avec une précision de quelques dizaines de mètres. de plus en plus utilisé dans les systèmes de navigation des véhicules ainsi que dans les applications de maintenance utilitaire. Applications des données géographiques

Les requêtes de proximité demandent des objets qui se trouvent à proximité d'un lieu. Les requêtes sur le plus proche voisin, étant donné un point ou un objet, trouvent l'objet le plus proche qui satisfait des conditions données. Les requêtes de région traitent des régions spatiales. par exemple, demander des objets qui se trouvent partiellement ou entièrement à l'intérieur d'une région spécifiée. Requêtes qui calculent des intersections ou des unions de régions. Jointure spatiale de deux relations spatiales avec l'emplacement jouant le rôle d'attribut de jointure. Entrée : Un ensemble S de n points en d dimensions un point de requête q. Problème : quel point de S est le plus proche de q ? Requêtes spatiales

Les données spatiales sont généralement interrogées à l'aide d'une requête graphique les résultats linguistiques sont également affichés de manière graphique. L'interface graphique constitue le front-end Des extensions de SQL avec des types de données abstraits, tels que des lignes, des polygones et des bitmaps, ont été proposées pour s'interfacer avec le back-end. permet aux bases de données relationnelles de stocker et de récupérer des informations spatiales les requêtes peuvent utiliser des conditions spatiales (par exemple, contiennent ou se chevauchent) les requêtes peuvent mélanger des conditions spatiales et non spatiales Requêtes spatiales (suite)

arbre k-d - première structure utilisée pour l'indexation dans plusieurs dimensions. Chaque niveau d'un arbre k-d divise l'espace en deux. choisissez une dimension pour le partitionnement au niveau racine de l'arborescence. choisissez une autre dimension pour le partitionnement en nœuds au niveau suivant et ainsi de suite, en parcourant les dimensions. Dans chaque nœud, environ la moitié des points stockés dans le sous-arbre tombent d'un côté et la moitié de l'autre. Le partitionnement s'arrête lorsqu'un nœud a moins d'un nombre maximum de points donné. L'arborescence k-d-B étend l'arborescence k-d pour autoriser plusieurs nœuds enfants pour chaque nœud interne bien adaptés au stockage secondaire. Indexation des données spatiales

Chaque ligne de la figure (autre que la case extérieure) correspond à un nœud dans l'arbre k-d le nombre maximum de points dans un nœud feuille a été fixé à 1. La numérotation des lignes dans la figure indique le niveau de l'arbre auquel le nœud correspondant apparaît. Division de l'espace par un arbre k-d

Arbres quaternaires Chaque nœud d'un quadtree est associé à une région d'espace rectangulaire, le nœud supérieur est associé à l'ensemble de l'espace cible. Chaque nœud non-feuille divise sa région en quatre quadrants de taille égale de manière correspondante, chaque nœud a quatre nœuds enfants correspondant aux quatre quadrants et ainsi de suite. Les nœuds feuilles ont entre zéro et un nombre maximum fixe de points (défini sur 1 dans l'exemple). Division de l'espace par quadtrees

PR quadtree (Point Region Quadtree) L'espace de stockage des points est divisé en fonction des régions plutôt que de l'ensemble réel de points stockés. Les quadtrees de région stockent les informations de tableau (raster). Un nœud est un nœud feuille si toutes les valeurs du tableau dans la région qu'il couvre sont les mêmes. Sinon, il est encore subdivisé en quatre enfants d'aire égale, et est donc un nœud interne. Chaque nœud correspond à un sous-tableau de valeurs. Les sous-tableaux correspondant aux feuilles contiennent soit un seul élément de tableau, soit plusieurs éléments de tableau, qui ont tous la même valeur. Des extensions d'arbres k-d et d'arbres quadratiques PR ont été proposées pour indexer des segments de ligne et des polygones.

Les arbres R sont une extension à N dimensions des arbres B+, utile pour indexation d'ensembles de rectangles et autres polygones. Pris en charge dans de nombreux systèmes de bases de données modernes, ainsi que des variantes telles que R+ -trees et R*-trees. Idée de base : généraliser la notion d'intervalle à une dimension associée à chaque nœud de l'arbre B+ à un intervalle à N dimensions, c'est-à-dire un rectangle à N dimensions. Ne considérera que le cas bidimensionnel (N = 2) La généralisation pour N > 2 est simple, bien que les R-arbres ne fonctionnent bien que pour les N R-Trees relativement petits

Un cadre de délimitation rectangulaire est associé à chaque arbre nœud. La boîte englobante d'un nœud feuille est un rectangle de taille minimale qui contient tous les rectangles/polygones associés au nœud feuille. Le cadre de délimitation associé à un nœud non feuille contient le cadre de délimitation associé à tous ses enfants. La boîte englobante d'un nœud sert de clé dans son nœud parent (le cas échéant) Les boîtes englobantes des enfants d'un nœud sont autorisées à se chevaucher Un polygone est stocké uniquement dans un nœud, et la boîte englobante du nœud doit contenir le polygone Le stockage l'efficacité des R-trees est meilleure que celle des arbres kd ou quadtrees puisqu'un polygone n'est stocké qu'une seule fois R Trees (suite)

Un ensemble de rectangles (trait plein) et les cadres de délimitation (ligne pointillée) des nœuds d'un R-tree pour les rectangles. L'arbre R est montré sur la droite. Exemple R-Tree

Pour rechercher des éléments de données (rectangles/polygones) se croisant (chevauchement) un point/région de requête donné, procédez comme suit, en commençant par le nœud racine : Si le nœud est un nœud feuille, affichez les éléments de données dont les clés croisent le point/région de requête donné. Sinon, pour chaque enfant du nœud actuel dont la zone de délimitation chevauche le point/la région de requête, rechercher récursivement l'enfant Peut être très inefficace dans le pire des cas car plusieurs chemins peuvent nécessiter une recherche, mais cela fonctionne de manière acceptable dans la pratique. Extensions simples de la procédure de recherche pour gérer les prédicats contenus dans et contient Recherche dans R-Trees

Rechercher dans R-Trees (suite) P1-1 P2-1 P2-2 P1-2 Point de recherche

Insertion dans les R-Trees • Pour insérer un élément de données : • Trouvez une feuille pour la stocker et ajoutez-la à la feuille • Pour rechercher une feuille, suivez un enfant (le cas échéant) dont le cadre de délimitation contient un cadre de délimitation de l'élément de données, sinon un enfant dont le chevauchement avec l'élément de données le cadre de délimitation est maximum • Gérer les débordements par fractionnement (comme dans les arbres B+) • La procédure de fractionnement est cependant différente (voir ci-dessous) • Ajuster les cadres de délimitation à partir de la feuille vers le haut • Procédure de fractionnement : • Objectif : diviser les entrées d'un nœud débordant en deux des ensembles tels que les cadres de délimitation aient une superficie totale minimale. • Il s'agit d'une heuristique. Des alternatives comme un chevauchement minimum sont possibles • Trouver la « meilleure » division coûte cher, utilisez plutôt des heuristiques • Voir la diapositive suivante

Insertion dans R-Tree : fractionnement d'un nœud R-Tree • La division quadratique divise les entrées d'un nœud en deux nouveaux nœuds comme suit • Trouvez une paire d'entrées avec une « séparation maximale » • c'est-à-dire la paire telle que la boîte englobante des deux aurait le maximum d'espace perdu (zone de la boîte englobante – somme des aires de deux entrées) • Placer ces entrées dans deux nouveaux nœuds • Trouver à plusieurs reprises l'entrée avec la « préférence maximale » pour l'un des deux nouveaux nœuds, et affecter l'entrée à ce nœud • La préférence d'une entrée à un nœud est l'augmentation de la zone de délimitation si l'entrée est ajoutée à l'autre nœud • Arrêtez lorsque la moitié des entrées ont été ajoutées à un nœud • Ensuite, attribuez les entrées restantes à l'autre nœud • L'heuristique de division linéaire moins chère fonctionne dans le temps linéaire en nombre d'entrées , • Moins cher mais génère des écarts légèrement moins bons.

Division quadratique dans R-Tree • Séparation maximale • Préférence maximale (différence entre l'augmentation de S1 et S2) case2 case1 Plus d'espace perdu  meilleure paire augmentation de S1=0 augmentation de S1 S1 S1 n2 n1 augmentation de S2 augmentation de S2 S2 S2 n2 est attribué à S1 plus tôt que n1

Suppression dans R-Trees • Suppression d'une entrée dans un R-tree fait un peu comme une suppression B+-tree. • En cas de nœud sous-plein, emprunter les entrées d'un frère si possible, sinon fusionner les nœuds frères • Une approche alternative supprime toutes les entrées du nœud sous-plein, supprime le nœud, puis réinsère toutes les entrées Suppression dans R-tree 예제 추가

24.1 Motivation 24.2 Temps dans les bases de données 24.3 Données spatiales et géographiques 24.4 Bases de données multimédias 24.5 Mobilité et bases de données personnelles 24.6 Aperçu sommaire : types de données avancés et nouvelles applications

Pour fournir des fonctions de base de données telles que l'indexation et cohérence, il est souhaitable de stocker les données multimédia dans une base de données plutôt que de les stocker en dehors de la base de données, dans un système de fichiers. La base de données doit gérer la représentation d'objets volumineux. La récupération basée sur la similarité doit être fournie par des structures d'index spéciales. Doit fournir des taux de récupération stables et garantis pour les données multimédias continues. Image d'entrée MODULE DE PRÉTRAITEMENT Mise à jour de l'index/de l'image de la base de données Entrée/extraction des fonctionnalités du scanner MODULE DE REQUÊTE Processeur d'exécution de la base de données d'images/fonctionnalité Formulation de requête interactive Extraction de fonctionnalités de requête utilisateur Contrôle de la simultanéité & Recovery Manager Sortie Navigateur d'images récupérées et fonctionnalité de rétroaction Correspondance des bases de données multimédias

Stocker et transmettre des données multimédia sous forme compressée JPEG et GIF sont les formats les plus utilisés pour les données d'image.La norme MPEG pour les données vidéo utilise des points communs entre une séquence d'images pour obtenir un degré de compression plus élevé. Qualité MPEG-1 comparable à une cassette vidéo VHS. Une norme pour le stockage et la récupération des images animées et de l'audio associé sur des supports de stockage stocke une minute de vidéo et d'audio à 30 images par seconde dans environ 12,5 Mo MPEG-2 conçu pour les systèmes de diffusion numérique et les disques vidéo numériques perte négligeable de qualité vidéo . Une norme pour la télévision numérique Compresse 1 minute d'audio-vidéo à environ 17 Mo. Plusieurs alternatives d'encodage audio MPEG-1 Layer 3 (MP3), RealAudio, format WindowsMedia, etc. Formats de données multimédia

Les types les plus importants sont les données vidéo et audio Caractérisé par des volumes de données élevés et des exigences de livraison d'informations en temps réel. Les données doivent être livrées suffisamment rapidement pour qu'il n'y ait pas de lacunes dans le résultat audio ou vidéo Les données doivent être livrées à une vitesse qui ne provoque pas de débordement des mémoires tampons du système. La synchronisation entre des flux de données distincts doit être maintenue Les mouvements des lèvres doivent être synchronisés avec l'audio Les systèmes de vidéo à la demande diffusent la vidéo des serveurs vidéo centraux, à travers un réseau, aux terminaux (doit garantir des taux de livraison de bout en bout) Vidéo en cours - les serveurs à la demande sont basés sur des systèmes de fichiers Les systèmes de bases de données existants ne répondent pas aux exigences de réponse en temps réel. Les données multimédias sont stockées sur plusieurs disques (configuration RAID), ou sur un stockage tertiaire pour les données les moins fréquemment consultées. Terminaux de tête de réseau - utilisés pour afficher des données multimédias sur des PC ou des téléviseurs connectés à un petit ordinateur bon marché appelé décodeur. Données de médias continus de réseau haute capacité


Qgis - Jointure spatiale d'un seul point à plusieurs polygones

qgis - Jointure spatiale d'un seul point à plusieurs polygones J'ai une couche de points que je souhaite joindre spatialement à une couche de polygones (apportez les attributs). Cela fonctionne bien à moins qu'il n'y ait des polygones qui se chevauchent, si tel est le cas, l'outil de jointure spatiale QGIS ne ramènera que les entités du premier trouvé (ou une moyenne). Spatial Thoughts est une académie mondiale pour les technologies géospatiales modernes. Nos offres visent à combler le fossé entre les compétences SIG traditionnelles et les besoins d'analyse spatiale à grande échelle. Nous proposons une gamme de programmes adaptés aux professions des SIG et de la télédétection, aux scientifiques des données et aux ingénieurs de données travaillant dans le domaine géospatial. 2.1 Jointure d'attributs. Une jointure d'attribut sur des données vectorielles amène les données tabulaires dans un contexte géographique. Il fait référence au processus de jointure des données sous forme de tableau à des données dans un format contenant les géométries (polygone, ligne ou point). 8. Si vous avez effectué des jointures d'attributs de fichiers de formes dans un logiciel SIG comme ArcGIS ou QGis, vous savez un identifiant unique dans la table attributaire du.

Qgis - Joindre spatialement deux polygones - Géographique.

Joignez spatialement deux polygones. Poser la question Posée il y a 3 ans et 11 mois.. Le fichier de formes résultant de la jointure spatiale avait autant de lignes que le fichier de formes 2. Si vous préférez une solution QGIS, jetez un œil aux expressions et aux agrégats (mais je ne les connais pas très bien. Si une entité jointe a une relation spatiale avec plusieurs entités cibles, elle est comptée autant de fois qu'elle correspond à l'entité cible. Par exemple, si un point se trouve dans trois polygones, le point est compté trois fois, une fois pour chaque polygone . Pour cet exercice, nous utiliserons les points représentant les gares de Taïwan et les polygones des unités de comté à Taïwan. Notre objectif est de (a) calculer le nombre de points de gare dans chaque unité de comté, et (b) créez une carte thématique des résultats dans QGIS, ajoutez des données vectorielles, définissez l'encodage UTF8 et accédez à part_three/tw_stations.shp

Introduction aux jointures spatiales avec QGIS | Opensource.com

Pour effectuer la jointure spatiale, utilisez le menu du haut Vecteur > Outils de gestion des données > Attributs de jointure par emplacement, ce qui fait apparaître la boîte de dialogue suivante (j'ai renseigné les valeurs que je veux dans les champs proposés) : La jointure spatiale dans Geopandas est très performante , et en fait, il utilise l'index spatial pour accélérer les requêtes. Les parties suivantes peuvent inclure des astuces un peu avancées que nous n'avons pas couvertes, mais par souci d'exhaustivité, les étapes suivantes comptent les intersections par zone de code postal. O método de união espacial difere do padrão, que consiste em Unir Atributos de uma Tabela (Rejoindre les attributs d'une table). Este relacionamento é chamado Joindre les données d'une autre couche en fonction de l'emplacement spatial (Unir dados de outra camada baseado na localização espacial).

Chapitre 7 Jointures spatiales dans QGIS - David McKie

Tâche 5 : Comment effectuer une jointure spatiale dans QGIS et enregistrer la nouvelle couche. Nous aimerions maintenant compter le nombre de sites contaminés dans les circonscriptions. Pour effectuer cette tâche, nous devons joindre les deux couches, puis compter le nombre de sites dans chaque circonscription ou polygones. Nous pouvons procéder de deux manières. Soit en sélectionnant « Vecteur ». Systèmes d'information géographique : j'ai deux collections de fichiers de formes : 1 – codes postaux, zones administratives et politiques 2 – diverses catégories d'utilisation des terres comme les parcs et les jardins familiaux et des points comme les arbres Je souhaite produire des statistiques sur la superficie de ces catégories d'utilisation des terres ventilées par code postal, zone administrative et politique, et le nombre de points

Calculer l'aire des polygones qui se croisent.


Joignez spatialement deux polygones. Poser la question Posée il y a 3 ans et 11 mois.. Le fichier de formes résultant de la jointure spatiale avait autant de lignes que le fichier de formes 2. Si vous préférez une solution QGIS, jetez un œil aux expressions et aux agrégats (mais je ne les connais pas très bien. Galeries Brett Rossi. Une nouvelle version mise à jour est disponible sur Performing Spatial Joins (QGIS3) La jointure spatiale est un problème SIG classique - le transfert d'attributs d'une couche à une autre en fonction de leur relation spatiale. Dans QGIS, cette fonctionnalité est disponible via les attributs de jointure par l'outil de localisation. Présentation de la tâche ¶ Effectuer des jointures spatiales (QGIS3) ¶ La jointure spatiale est un problème SIG classique - transférer des attributs d'une couche à une autre en fonction de leur relation spatiale. Dans QGIS, cette fonctionnalité est disponible via les attributs de jointure par emplacement Algorithme de traitement. Présentation de la tâche ¶ Jointure spatiale dans QGIS. Jointure spatiale dans QGIS – Quantum GIS un logiciel open source. La jointure spatiale est utilisée pour joindre ou transférer des attributs de deux couches vectorielles en fonction de leur relation spatiale. Dans QGIS, nous pouvons effectuer cette tâche à l'aide de l'outil Join Attribute by Location. Acer Tietokoneet Hinta. qgis - Jointure spatiale d'un seul point à plusieurs polygones J'ai une couche de points que je souhaite joindre spatialement à une couche de polygones (apportez les attributs). Cela fonctionne bien à moins qu'il n'y ait des polygones qui se chevauchent, si tel est le cas, l'outil de jointure spatiale QGIS ne ramènera que les entités du premier trouvé (ou une moyenne). Pour effectuer la jointure spatiale, utilisez le menu du haut Vecteur > Outils de gestion des données > Attributs de jointure par emplacement, ce qui fait apparaître la boîte de dialogue suivante (j'ai renseigné les valeurs que je veux dans les champs proposés) : Fusionner deux ou plusieurs polygones, points ou polyligne de Shapefile dans QGIS. Voulez-vous fusionner des fonctionnalités de pour les combiner en une seule fonctionnalité et conserver ses valeurs dbf de base de données avec elle. QGIS - Le système d'information géographique quantique est l'un des plus importants pour les géographes et avec l'aide de cet outil, je vous montrerais comment fusionner des entités au sein d'une même couche. Raisins secs au chocolat Sun Maid. Dans l'entité A, deux polygones sur les cinq existants se croisent. Je souhaite fusionner les deux afin que les lignes qui se chevauchent soient supprimées et que le résultat soit un polygone. mais l'outil de dissolution de QGis fonctionne. Etat national-socialiste. 3) Sélectionnez les polygones que vous souhaitez fusionner (maintenez la touche Maj enfoncée tout en sélectionnant les entités afin de pouvoir en sélectionner plusieurs), cliquez sur la flèche déroulante à côté de « Éditeur » dans la barre d'outils de l'éditeur et cliquez sur Fusionner. 4) Enregistrez vos modifications. Cela fusionnera vos deux parcelles non contiguës en une seule. Jointure spatiale. Une tâche SIG courante consiste à joindre les attributs d'une couche de données spatiales à une autre. Dans cet exemple, nous allons joindre les attributs d'une couche de polygones à une couche de points, en fonction du polygone contenant les points. Tâche 5 : Comment effectuer une jointure spatiale dans QGIS et enregistrer la nouvelle couche. Nous aimerions maintenant compter le nombre de sites contaminés dans les circonscriptions. Pour effectuer cette tâche, nous devons joindre les deux couches, puis compter le nombre de sites dans chaque circonscription ou polygones. Nous pouvons procéder de deux manières. Soit en sélectionnant « Vecteur ».


Transcription de la présentation

Les bases de données spatiales stockent des informations relatives à emplacements, et prennent en charge le stockage, l'indexation et l'interrogation efficaces des données spatiales. Les structures d'index à usage spécial sont importantes pour accéder aux données spatiales et pour traiter les requêtes de jointure spatiale. Les bases de données de conception assistée par ordinateur (CAO) stockent des informations de conception sur la façon dont les objets sont construits. Bases de données spatiales et géographiques

Diverses constructions géométriques peuvent être représentées dans un base de données de manière normalisée. Représenter un segment de ligne par les coordonnées de ses extrémités. Approximer une courbe en la partitionnant en une séquence de segments Créer une liste de sommets dans l'ordre, ou Représenter chaque segment comme un tuple séparé qui porte également avec lui l'identifiant de la courbe (entités 2D telles que les routes). Polygones fermés Liste des sommets dans l'ordre, le sommet de départ est le même que le sommet de fin, ou Représenter les arêtes de frontière comme des tuples séparés, chacun contenant l'identifiant du polygone, ou Utiliser la triangulation — diviser le polygone en triangles Notez l'identifiant du polygone avec chacun de ses Triangles. Représentation des informations géométriques

Représentation des points et des segments de droite en 3-D similaire à 2-D, sauf que les points ont une composante z supplémentaire Représenter des polyèdres arbitraires en les divisant en tétraèdres, comme des polygones triangulants. Alternative : listez leurs faces, chacune étant un polygone, avec une indication du côté de la face qui se trouve à l'intérieur du polyèdre. Représentation des informations géométriques (suite)

Représenter les composants de conception comme des objets (généralement géométriques objets) les connexions entre les objets indiquent comment la conception est structurée. Objets bidimensionnels simples : points, lignes, triangles, rectangles, polygones. Objets bidimensionnels complexes : formés à partir d'objets simples via des opérations d'union, d'intersection et de différence. Objets tridimensionnels complexes : formés à partir d'objets plus simples tels que des sphères, des cylindres et des cuboïdes, par des opérations d'union, d'intersection et de différence. Les modèles filaires représentent des surfaces tridimensionnelles comme un ensemble d'objets plus simples. Concevoir des bases de données

Les bases de données de conception stockent également des informations non spatiales sur objets (par exemple, matériau de construction, couleur, etc.) Les contraintes d'intégrité spatiale sont importantes. Par exemple, les tuyaux ne doivent pas se croiser, les fils ne doivent pas être trop proches les uns des autres, etc. Représentation des constructions géométriques (a) Différence des cylindres (b) Union des cylindres

Les données raster sont constituées de bitmaps ou de pixels maps, en deux ou plus de dimensions. Exemple d'image raster 2D : image satellite de la couverture nuageuse, où chaque pixel stocke la visibilité des nuages ​​dans une zone particulière. Des dimensions supplémentaires peuvent inclure la température à différentes altitudes dans différentes régions, ou des mesures prises à différents moments. Les bases de données de conception ne stockent généralement pas de données raster. Données géographiques

Les données vectorielles sont construites à partir d'objets géométriques de base : points, segments de ligne, triangles et autres polygones en deux dimensions, et cylindres, sphères, cuboïdes et autres polyèdres en trois dimensions. Format vectoriel souvent utilisé pour représenter les données cartographiques. Les routes peuvent être considérées comme bidimensionnelles et représentées par des lignes et des courbes. Certaines entités, telles que les rivières, peuvent être représentées soit sous forme de courbes complexes, soit sous forme de polygones complexes, selon que leur largeur est pertinente ou non. Les entités telles que les régions et les lacs peuvent être représentées sous forme de polygones. Données géographiques (suite)

Exemples de données géographiques données cartographiques pour la navigation des véhicules informations sur le réseau de distribution pour l'électricité, les téléphones, l'approvisionnement en eau et les eaux usées Les systèmes de navigation pour véhicules stockent des informations sur les routes et les services à l'usage des conducteurs : Données spatiales : par exemple, coordonnées route/restaurant/station-service Données non spatiales : par exemple, les rues à sens unique, les limites de vitesse, les embouteillages Unité du système de positionnement global (GPS) - utilise les informations diffusées par les satellites GPS pour trouver l'emplacement actuel de l'utilisateur avec une précision de quelques dizaines de mètres. de plus en plus utilisé dans les systèmes de navigation des véhicules ainsi que dans les applications de maintenance utilitaire. Applications des données géographiques

Les requêtes de proximité demandent des objets qui se trouvent à proximité d'un lieu. Les requêtes sur le plus proche voisin, étant donné un point ou un objet, trouvent l'objet le plus proche qui satisfait des conditions données. Les requêtes de région traitent des régions spatiales. par exemple, demander des objets qui se trouvent partiellement ou entièrement à l'intérieur d'une région spécifiée. Requêtes qui calculent des intersections ou des unions de régions. Jointure spatiale de deux relations spatiales avec l'emplacement jouant le rôle d'attribut de jointure. Requêtes spatiales

Les données spatiales sont généralement interrogées à l'aide d'une requête graphique les résultats linguistiques sont également affichés de manière graphique. L'interface graphique constitue le front-end Des extensions de SQL avec des types de données abstraits, tels que des lignes, des polygones et des bitmaps, ont été proposées pour s'interfacer avec le back-end. permet aux bases de données relationnelles de stocker et de récupérer des informations spatiales Les requêtes peuvent utiliser des conditions spatiales (par exemple, contient ou se chevauche). les requêtes peuvent mélanger des conditions spatiales et non spatiales Requêtes spatiales (suite)

arbre k-d - première structure utilisée pour l'indexation dans plusieurs dimensions. Chaque niveau d'un arbre k-d divise l'espace en deux. choisissez une dimension pour le partitionnement au niveau racine de l'arborescence. choisissez une autre dimension pour le partitionnement en nœuds au niveau suivant et ainsi de suite, en parcourant les dimensions. Dans chaque nœud, environ la moitié des points stockés dans le sous-arbre tombent d'un côté et la moitié de l'autre. Le partitionnement s'arrête lorsqu'un nœud a moins d'un nombre maximum de points donné. L'arborescence k-d-B étend l'arborescence k-d pour autoriser plusieurs nœuds enfants pour chaque nœud interne bien adaptés au stockage secondaire. Indexation des données spatiales

Chaque ligne de la figure (autre que la case extérieure) correspond à un nœud dans l'arbre k-d le nombre maximum de points dans un nœud feuille a été fixé à 1. La numérotation des lignes dans la figure indique le niveau de l'arbre auquel le nœud correspondant apparaît. Division de l'espace par un arbre k-d

Arbres quaternaires Chaque nœud d'un quadtree est associé à une région d'espace rectangulaire, le nœud supérieur est associé à l'ensemble de l'espace cible. Chaque nœud non-feuille divise sa région en quatre quadrants de taille égale de manière correspondante, chaque nœud a quatre nœuds enfants correspondant aux quatre quadrants et ainsi de suite. Les nœuds feuilles ont entre zéro et un nombre maximum fixe de points (défini sur 1 dans l'exemple). Division de l'espace par quadtrees

PR quadtree : l'espace des points de stockage est divisé en fonction de régions, plutôt que sur l'ensemble réel de points stockés. Les quadtrees de région stockent les informations de tableau (raster). Un nœud est un nœud feuille, toutes les valeurs du tableau dans la région qu'il couvre sont les mêmes. Sinon, il est encore subdivisé en quatre enfants d'aire égale, et est donc un nœud interne. Chaque nœud correspond à un sous-tableau de valeurs. Les sous-tableaux correspondant aux feuilles contiennent soit un seul élément de tableau, soit plusieurs éléments de tableau, qui ont tous la même valeur. Des extensions d'arbres k-d et d'arbres quadratiques PR ont été proposées pour indexer des segments de ligne et des polygones.

Les arbres R sont une extension à N dimensions des arbres B+, utiles pour indexer des ensembles de rectangles et d'autres polygones. Pris en charge dans de nombreux systèmes de bases de données SIG modernes, ainsi que des variantes telles que R+ -trees et R*-trees. Idée de base : généraliser la notion d'intervalle à une dimension associée à chaque nœud de l'arbre B+ à un intervalle à N dimensions, c'est-à-dire un rectangle à N dimensions. Ne considérera que le cas bidimensionnel (N = 2) La généralisation pour N > 2 est simple, bien que les R-arbres ne fonctionnent bien que pour les N R-Trees relativement petits

Un cadre de délimitation rectangulaire est associé à chaque arbre nœud. La boîte englobante d'un nœud feuille est un rectangle de taille minimale qui contient tous les rectangles/polygones associés au nœud feuille. Le cadre de délimitation associé à un nœud non feuille contient le cadre de délimitation associé à tous ses enfants. La boîte englobante d'un nœud sert de clé dans son nœud parent (le cas échéant) Les boîtes englobantes des enfants d'un nœud sont autorisées à se chevaucher Un polygone est stocké uniquement dans un nœud, et la boîte englobante du nœud doit contenir le polygone Le stockage l'efficacité des R-trees est meilleure que celle des arbres kd ou quadtrees puisqu'un polygone n'est stocké qu'une seule fois R Trees (suite)

Un ensemble de rectangles (trait plein) et les cadres de délimitation (ligne pointillée) des nœuds d'un R-tree pour les rectangles. L'arbre R est montré sur la droite. Exemple R-Tree

Pour rechercher des éléments de données (rectangles/polygones) se croisant (chevauchement) un point/région de requête donné, procédez comme suit, en commençant par le nœud racine : Si le nœud est un nœud feuille, affichez les éléments de données dont les clés croisent le point/région de requête donné. Sinon, pour chaque enfant du nœud actuel dont la zone de délimitation chevauche le point/la région de requête, rechercher récursivement l'enfant Peut être très inefficace dans le pire des cas car plusieurs chemins peuvent nécessiter une recherche, mais cela fonctionne de manière acceptable dans la pratique. Extensions simples de la procédure de recherche pour gérer les prédicats contenus dans et contient la recherche dans les R-Trees

Insertion dans les R-Trees • Pour insérer un élément de données : • Trouvez une feuille pour la stocker et ajoutez-la à la feuille • Pour rechercher une feuille, suivez un enfant (le cas échéant) dont le cadre de délimitation contient un cadre de délimitation de l'élément de données, sinon un enfant dont le chevauchement avec l'élément de données le cadre de délimitation est maximum • Gérer les débordements par fractionnement (comme dans les arbres B+) • La procédure de fractionnement est cependant différente (voir ci-dessous) • Ajuster les cadres de délimitation à partir de la feuille vers le haut • Procédure de fractionnement : • Objectif : diviser les entrées d'un nœud débordant en deux des ensembles tels que les cadres de délimitation aient une superficie totale minimale. • Il s'agit d'une heuristique. Des alternatives comme un chevauchement minimum sont possibles • Trouver la « meilleure » division coûte cher, utilisez plutôt des heuristiques • Voir la diapositive suivante

Fractionnement d'un nœud R-Tree • La division quadratique divise les entrées d'un nœud en deux nouveaux nœuds comme suit • Trouvez une paire d'entrées avec une « séparation maximale » • c'est-à-dire la paire telle que la boîte englobante des deux aurait le maximum d'espace perdu (zone de la boîte englobante – somme des aires de deux entrées) • Placer ces entrées dans deux nouveaux nœuds • Trouver à plusieurs reprises l'entrée avec la « préférence maximale » pour l'un des deux nouveaux nœuds, et affecter l'entrée à ce nœud • La préférence d'une entrée à un nœud est l'augmentation de la zone de délimitation si l'entrée est ajoutée à l'autre nœud • Arrêtez lorsque la moitié des entrées ont été ajoutées à un nœud • Ensuite, attribuez les entrées restantes à l'autre nœud • L'heuristique de division linéaire moins chère fonctionne dans le temps linéaire en nombre d'entrées , • Moins cher mais génère des écarts légèrement moins bons.

Suppression dans R-Trees • Suppression d'une entrée dans un R-tree fait un peu comme une suppression B+-tree. • En cas de nœud sous-complet, emprunter les entrées d'un frère si possible, sinon fusionner les nœuds frères • Une approche alternative supprime toutes les entrées du nœud sous-complet, supprime le nœud, puis réinsère toutes les entrées


Contenu

L'histoire des mathématiques peut être considérée comme une série toujours croissante d'abstractions. La première abstraction, partagée par de nombreux animaux [14], était probablement celle des nombres : la réalisation qu'une collection de deux pommes et une collection de deux oranges (par exemple) ont quelque chose en commun, à savoir la quantité de leurs membres.

Comme en témoignent les décomptes trouvés sur les os, en plus de reconnaître comment compter les objets physiques, les peuples préhistoriques ont peut-être également reconnu comment compter des quantités abstraites, comme le temps - jours, saisons ou années. [15] [16]

Les preuves de mathématiques plus complexes n'apparaissent que vers 3000 av. [17] Les textes mathématiques les plus anciens de Mésopotamie et d'Égypte datent de 2000 à 1800 av. [18] De nombreux textes anciens mentionnent des triplets de Pythagore et ainsi, par déduction, le théorème de Pythagore semble être le développement mathématique le plus ancien et le plus répandu après l'arithmétique de base et la géométrie. [19] C'est dans les mathématiques babyloniennes que l'arithmétique élémentaire (addition, soustraction, multiplication et division) apparaît pour la première fois dans les archives archéologiques. Les Babyloniens possédaient également un système de valeurs de position et utilisaient un système de numération sexagésimal [19] qui est encore utilisé aujourd'hui pour mesurer les angles et le temps. [20]

À partir du 6ème siècle avant JC avec les Pythagoriciens, avec les mathématiques grecques, les Grecs de l'Antiquité ont commencé une étude systématique des mathématiques en tant que sujet à part entière. [21] Autour de 300 avant JC, Euclide a introduit la méthode axiomatique encore utilisée aujourd'hui en mathématiques, consistant en définition, axiome, théorème et preuve. Son livre, Éléments, est largement considéré comme le manuel le plus réussi et le plus influent de tous les temps. [22] Le plus grand mathématicien de l'antiquité est souvent considéré comme Archimède (c. 287-212 BC) de Syracuse. [23] Il a développé des formules pour calculer la surface et le volume des solides de révolution et a utilisé la méthode de l'épuisement pour calculer l'aire sous l'arc d'une parabole avec la sommation d'une série infinie, d'une manière pas trop différente du calcul moderne . [24] D'autres réalisations notables des mathématiques grecques sont les sections coniques (Apollonius de Perga, 3ème siècle avant JC), [25] la trigonométrie (Hipparque de Nicée, 2ème siècle avant JC), [26] et les débuts de l'algèbre (Diophante, 3ème siècle après JC) ). [27]

Le système de numération hindou-arabe et les règles d'utilisation de ses opérations, en usage dans le monde aujourd'hui, ont évolué au cours du premier millénaire de notre ère en Inde et ont été transmis au monde occidental via les mathématiques islamiques. [28] D'autres développements notables des mathématiques indiennes incluent la définition moderne et l'approximation du sinus et du cosinus, [28] et une première forme de série infinie.

Au cours de l'âge d'or de l'Islam, en particulier aux IXe et Xe siècles, les mathématiques ont vu de nombreuses innovations importantes s'appuyer sur les mathématiques grecques. La réalisation la plus notable des mathématiques islamiques a été le développement de l'algèbre. Parmi les autres réalisations de la période islamique, citons les progrès de la trigonométrie sphérique et l'ajout de la virgule décimale au système de numération arabe. [29] [30] Beaucoup de mathématiciens notables de cette période étaient persans, comme Al-Khwarismi, Omar Khayyam et Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Au début de la période moderne, les mathématiques ont commencé à se développer à un rythme accéléré en Europe occidentale. Le développement du calcul par Newton et Leibniz au 17ème siècle a révolutionné les mathématiques. [31] Leonhard Euler était le mathématicien le plus remarquable du 18ème siècle, en contribuant de nombreux théorèmes et découvertes. [32] Peut-être le plus grand mathématicien du 19ème siècle était le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss, [33] qui a apporté de nombreuses contributions à des domaines tels que l'algèbre, l'analyse, la géométrie différentielle, la théorie des matrices, la théorie des nombres et les statistiques. Au début du 20e siècle, Kurt Gödel a transformé les mathématiques en publiant ses théorèmes d'incomplétude, qui montrent en partie que tout système axiomatique cohérent, s'il est suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique, contiendra de vraies propositions qui ne peuvent pas être prouvées. [34]

Les mathématiques se sont depuis considérablement étendues, et il y a eu une interaction fructueuse entre les mathématiques et les sciences, au profit des deux. Des découvertes mathématiques continuent d'être faites aujourd'hui. Selon Mikhail B. Sevryuk, dans le numéro de janvier 2006 du Bulletin de la Société mathématique américaine, "Le nombre d'articles et de livres inclus dans le Examens mathématiques base de données depuis 1940 (la première année de fonctionnement de MR) est maintenant de plus de 1,9 million, et plus de 75 000 éléments sont ajoutés à la base de données chaque année. L'écrasante majorité des travaux dans cet océan contiennent de nouveaux théorèmes mathématiques et leurs preuves." [35]

Étymologie

Le mot mathématiques vient du grec ancien mathma ( μάθημα ), signifiant « ce qui s'apprend », [36] « ce que l'on apprend », d'où aussi « étude » et « science ». Le mot pour « mathématiques » a pris le sens plus étroit et plus technique « étude mathématique » même à l'époque classique. [37] Son adjectif est mathēmatikós ( μαθηματικός ), signifiant « lié à l'apprentissage » ou « studieux », qui en est également venu à signifier « mathématique ». En particulier, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη latin : ars mathématicien) signifiait "l'art mathématique".

De même, l'une des deux principales écoles de pensée du pythagoricisme était connue sous le nom de mathēmatikoi (μαθηματικοί)—qui à l'époque signifiait « apprenants » plutôt que « mathématiciens » au sens moderne du terme. [38]

En latin, et en anglais jusqu'en 1700 environ, le terme mathématiques signifiant plus communément "astrologie" (ou parfois "astronomie") plutôt que "mathématiques", le sens a progressivement changé pour devenir son actuel d'environ 1500 à 1800. Cela a entraîné plusieurs erreurs de traduction. Par exemple, l'avertissement de saint Augustin que les chrétiens doivent se méfier de mathématiciens, signifiant astrologues, est parfois mal traduit comme une condamnation des mathématiciens. [39]

Le pluriel apparent en anglais, comme le pluriel français les mathématiques (et la dérivée singulière moins couramment utilisée la mathématique), remonte au latin neutre pluriel mathématicien (Cicéron), basé sur le pluriel grec ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), utilisé par Aristote (384-322 av. mathématique) et a formé le nom mathématiques à nouveau, sur le modèle de la physique et métaphysique, hérités du grec. [40] En anglais, le nom mathématiques prend un verbe au singulier. Il est souvent abrégé en mathématiques ou, en Amérique du Nord, math. [41]

Les mathématiques n'ont pas de définition généralement acceptée. [6] [7] Aristote a défini les mathématiques comme "la science de la quantité" et cette définition a prévalu jusqu'au 18ème siècle. Cependant, Aristote a également noté que l'accent mis sur la quantité seule peut ne pas distinguer les mathématiques des sciences comme la physique à son avis, l'abstraction et l'étude de la quantité en tant que propriété « séparable en pensée » des instances réelles distinguent les mathématiques. [42]

Au 19ème siècle, lorsque l'étude des mathématiques est devenue plus rigoureuse et a commencé à aborder des sujets abstraits tels que la théorie des groupes et la géométrie projective, qui n'ont pas de relation claire avec la quantité et la mesure, les mathématiciens et les philosophes ont commencé à proposer une variété de nouvelles définitions. . [43]

Un grand nombre de mathématiciens professionnels ne s'intéressent pas à une définition des mathématiques, ou la considèrent indéfinissable. [6] Il n'y a même pas de consensus sur la question de savoir si les mathématiques sont un art ou une science. [7] Certains disent simplement : « Les mathématiques, c'est ce que font les mathématiciens. [6]

Trois types principaux

Trois principaux types de définition des mathématiques aujourd'hui sont appelés logiciste, intuitionniste et formaliste, chacun reflétant une école de pensée philosophique différente. [44] Tous ont de graves défauts, aucun n'est largement accepté et aucune réconciliation ne semble possible. [44]

Définitions des Logicistes

Une première définition des mathématiques en termes de logique était celle de Benjamin Peirce (1870) : « la science qui tire les conclusions nécessaires ». [45] Dans le Principia Mathematica, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont avancé le programme philosophique connu sous le nom de logicisme et ont tenté de prouver que tous les concepts, déclarations et principes mathématiques peuvent être définis et prouvés entièrement en termes de logique symbolique. Une définition logiciste des mathématiques est celle de Russell (1903) "Toutes les mathématiques sont une logique symbolique". [46]

Définitions intuitionnistes

Les définitions intuitionnistes, issues de la philosophie du mathématicien L. E. J. Brouwer, identifient les mathématiques à certains phénomènes mentaux. Un exemple de définition intuitionniste est « Les mathématiques sont l'activité mentale qui consiste à réaliser des constructions les unes après les autres ». [44] Une particularité de l'intuitionnisme est qu'il rejette certaines idées mathématiques considérées comme valides selon d'autres définitions. En particulier, alors que d'autres philosophies des mathématiques autorisent des objets dont l'existence peut être prouvée même s'ils ne peuvent pas être construits, l'intuitionnisme n'autorise que des objets mathématiques que l'on peut réellement construire. Les intuitionnistes rejettent également la loi du tiers exclu (i.e., P ∨ ¬ P ). Bien que cette position les oblige à rejeter une version courante de la preuve par contradiction en tant que méthode de preuve viable, à savoir l'inférence de P à partir de ¬ P → ⊥ , ils sont toujours capable de déduire ¬ P de P → ⊥ . Pour eux, ¬ ( ¬ P ) est un énoncé strictement plus faible que P . [47]

Définitions formalistes

Les définitions formalistes identifient les mathématiques avec leurs symboles et les règles pour opérer sur eux. Haskell Curry a défini les mathématiques simplement comme « la science des systèmes formels ». [48] ​​Un système formel est un ensemble de symboles, ou jetons, et certaines des règles sur la façon dont les jetons doivent être combinés en formules. Dans les systèmes formels, le mot axiome a un sens spécial différent du sens ordinaire de « une vérité évidente » et est utilisé pour désigner une combinaison de jetons qui est inclus dans un système formel donné sans avoir besoin d'être dérivé en utilisant les règles du système.

Les mathématiques comme science

Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss a qualifié les mathématiques de « reine des sciences ». [49] Plus récemment, Marcus du Sautoy a appelé les mathématiques "la reine de la science. la principale force motrice derrière la découverte scientifique". [50] Le philosophe Karl Popper a observé que « la plupart des théories mathématiques sont, comme celles de la physique et de la biologie, hypothético-déductives : les mathématiques pures se révèlent donc beaucoup plus proches des sciences naturelles dont les hypothèses sont des conjectures, qu'il n'y paraissait encore récemment. " [51] Popper a également noté que "J'admettrai certainement un système comme empirique ou scientifique seulement s'il est capable d'être testé par l'expérience." [52]

Plusieurs auteurs considèrent que les mathématiques ne sont pas une science car elles ne reposent pas sur des preuves empiriques. [53] [54] [55] [56]

Les mathématiques partagent beaucoup de points communs avec de nombreux domaines des sciences physiques, notamment l'exploration des conséquences logiques des hypothèses. L'intuition et l'expérimentation jouent également un rôle dans la formulation des conjectures en mathématiques et dans les (autres) sciences. Les mathématiques expérimentales continuent de gagner en importance au sein des mathématiques, et le calcul et la simulation jouent un rôle croissant à la fois dans les sciences et les mathématiques.

Les opinions des mathématiciens à ce sujet sont variées. De nombreux mathématiciens [57] estiment qu'appeler leur domaine une science revient à minimiser l'importance de son côté esthétique, et son histoire dans les sept arts libéraux traditionnels. fait que l'interface entre les mathématiques et leurs applications en science et en ingénierie a conduit à de nombreux développements en mathématiques. [58] Cette différence de point de vue joue un rôle dans le débat philosophique sur la question de savoir si les mathématiques sont établi (comme dans l'art) ou découvert (comme en sciences). Dans la pratique, les mathématiciens sont généralement regroupés avec les scientifiques au niveau brut mais séparés à des niveaux plus fins. C'est l'une des nombreuses questions considérées dans la philosophie des mathématiques. [59]

Les mathématiques découlent de nombreux types de problèmes différents. Au début, ceux-ci ont été trouvés dans le commerce, la mesure des terres, l'architecture et plus tard l'astronomie aujourd'hui, toutes les sciences suggèrent des problèmes étudiés par les mathématiciens, et de nombreux problèmes se posent au sein des mathématiques elles-mêmes. Par exemple, le physicien Richard Feynman a inventé la formulation intégrale du chemin de la mécanique quantique en utilisant une combinaison de raisonnement mathématique et d'intuition physique, et la théorie des cordes d'aujourd'hui, une théorie scientifique encore en développement qui tente d'unifier les quatre forces fondamentales de la nature, continue d'inspirer nouvelles mathématiques. [60]

Certaines mathématiques ne sont pertinentes que dans le domaine qui les a inspirées et sont appliquées pour résoudre d'autres problèmes dans ce domaine. Mais souvent, les mathématiques inspirées par un domaine s'avèrent utiles dans de nombreux domaines et rejoignent le stock général des concepts mathématiques. Une distinction est souvent faite entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Cependant, les sujets de mathématiques pures s'avèrent souvent avoir des applications, par ex. théorie des nombres en cryptographie.

Ce fait remarquable, que même les mathématiques "les plus pures" s'avèrent souvent avoir des applications pratiques, est ce que le physicien Eugene Wigner a appelé "l'efficacité déraisonnable des mathématiques". [13] Le philosophe des mathématiques Mark Steiner a beaucoup écrit sur ce sujet et reconnaît que l'applicabilité des mathématiques constitue « un défi au naturalisme ». [61] Pour la philosophe des mathématiques Mary Leng, le fait que le monde physique agisse conformément aux préceptes d'entités mathématiques non causales existant au-delà de l'univers est « une heureuse coïncidence ». [62] D'un autre côté, pour certains antiréalistes, les connexions, qui sont acquises parmi les choses mathématiques, reflètent simplement les connexions acquises parmi les objets de l'univers, de sorte qu'il n'y a pas de « coïncidence heureuse ». [62]

Comme dans la plupart des domaines d'études, l'explosion des connaissances à l'ère scientifique a conduit à la spécialisation : il existe désormais des centaines de domaines spécialisés en mathématiques et la dernière classification des matières mathématiques compte 46 pages. [63] Plusieurs domaines des mathématiques appliquées ont fusionné avec des traditions apparentées en dehors des mathématiques et sont devenus des disciplines à part entière, notamment les statistiques, la recherche opérationnelle et l'informatique.

Pour ceux qui sont enclins aux mathématiques, il y a souvent un aspect esthétique défini dans une grande partie des mathématiques. De nombreux mathématiciens parlent de élégance des mathématiques, son esthétique intrinsèque et sa beauté intérieure. La simplicité et la généralité sont valorisées. Il y a de la beauté dans une preuve simple et élégante, comme la preuve d'Euclide qu'il existe une infinité de nombres premiers, et dans une méthode numérique élégante qui accélère le calcul, comme la transformée de Fourier rapide. G. H. Hardy dans Les excuses d'un mathématicien exprimé la conviction que ces considérations esthétiques sont, en elles-mêmes, suffisantes pour justifier l'étude des mathématiques pures. Il a identifié des critères tels que l'importance, l'inattendu, l'inévitabilité et l'économie comme des facteurs qui contribuent à une esthétique mathématique. [64] La recherche mathématique cherche souvent des caractéristiques critiques d'un objet mathématique. Un théorème exprimé comme une caractérisation de l'objet par ces caractéristiques est le prix. Des exemples d'arguments mathématiques particulièrement succincts et révélateurs ont été publiés dans Preuves du LIVRE.

La popularité des mathématiques récréatives est un autre signe du plaisir que beaucoup trouvent à résoudre des questions mathématiques. Et à l'autre extrême social, les philosophes continuent de rencontrer des problèmes en philosophie des mathématiques, tels que la nature de la preuve mathématique. [65]

La plupart des notations mathématiques utilisées aujourd'hui n'ont été inventées qu'au XVIe siècle. [66] Avant cela, les mathématiques étaient écrites en mots, limitant la découverte mathématique. [67] Euler (1707-1783) était responsable de plusieurs des notations en usage aujourd'hui. La notation moderne rend les mathématiques beaucoup plus faciles pour le professionnel, mais les débutants la trouvent souvent intimidante. Selon Barbara Oakley, cela peut être attribué au fait que les idées mathématiques sont à la fois plus abstrait et plus crypté que celles du langage naturel. [68] Contrairement au langage naturel, où les gens peuvent souvent assimiler un mot (comme vache) avec l'objet physique auquel il correspond, les symboles mathématiques sont abstraits, dépourvus de tout analogue physique. [69] Les symboles mathématiques sont également plus cryptés que les mots ordinaires, ce qui signifie qu'un seul symbole peut coder un certain nombre d'opérations ou d'idées différentes. [70]

Le langage mathématique peut être difficile à comprendre pour les débutants car même les termes courants, tels que ou alors et seulement, ont un sens plus précis que dans le langage courant, et d'autres termes tels que ouvert et domaine se référer à des idées mathématiques spécifiques, non couvertes par leurs significations profanes.Le langage mathématique comprend également de nombreux termes techniques tels que homéomorphisme et intégrable qui n'ont aucun sens en dehors des mathématiques. De plus, des phrases abrégées telles que si ssi pour "si et seulement si" appartiennent au jargon mathématique. Il y a une raison pour une notation et un vocabulaire technique particuliers : les mathématiques demandent plus de précision que le langage courant. Les mathématiciens appellent cette précision du langage et de la logique « rigueur ».

La preuve mathématique est fondamentalement une question de rigueur. Les mathématiciens veulent que leurs théorèmes découlent d'axiomes au moyen d'un raisonnement systématique. Ceci afin d'éviter des "théorèmes" erronés, basés sur des intuitions faillibles, dont de nombreux exemples se sont produits dans l'histoire du sujet. [b] Le niveau de rigueur attendu en mathématiques a varié au cours du temps : les Grecs attendaient des arguments détaillés, mais à l'époque d'Isaac Newton les méthodes employées étaient moins rigoureuses. Les problèmes inhérents aux définitions utilisées par Newton conduiraient à une résurgence d'une analyse minutieuse et d'une preuve formelle au 19ème siècle. L'incompréhension de la rigueur est la cause de certaines des idées fausses courantes sur les mathématiques. Aujourd'hui, les mathématiciens continuent de se disputer entre eux sur les preuves assistées par ordinateur. Étant donné que les calculs volumineux sont difficiles à vérifier, de telles preuves peuvent être erronées si le programme informatique utilisé est erroné. [c] [71] D'autre part, les assistants de preuve permettent de vérifier tous les détails qui ne peuvent pas être donnés dans une preuve manuscrite, et fournissent la certitude de l'exactitude des preuves longues comme celle du théorème de Feit-Thompson. [ré]

Les axiomes de la pensée traditionnelle étaient des « vérités évidentes », mais cette conception est problématique. [72] À un niveau formel, un axiome est juste une chaîne de symboles, qui n'a une signification intrinsèque que dans le contexte de toutes les formules dérivables d'un système axiomatique. C'était le but du programme de Hilbert de mettre toutes les mathématiques sur une base axiomatique ferme, mais selon le théorème d'incomplétude de Gödel, chaque système axiomatique (suffisamment puissant) a des formules indécidables et donc une axiomatisation finale des mathématiques est impossible. Néanmoins, les mathématiques sont souvent imaginées comme n'étant (en ce qui concerne leur contenu formel) que la théorie des ensembles dans une certaine axiomatisation, dans le sens où chaque énoncé ou preuve mathématique pourrait être transformé en formules au sein de la théorie des ensembles. [73]

Les mathématiques peuvent, d'une manière générale, être subdivisées en l'étude de la quantité, de la structure, de l'espace et du changement (c'est-à-dire l'arithmétique, l'algèbre, la géométrie et l'analyse). En plus de ces préoccupations principales, il existe également des subdivisions dédiées à l'exploration des liens du cœur des mathématiques à d'autres domaines : à la logique, à la théorie des ensembles (fondements), aux mathématiques empiriques des différentes sciences (mathématiques appliquées), et plus récemment à l'étude rigoureuse de l'incertitude. Bien que certains domaines puissent sembler sans rapport, le programme de Langlands a trouvé des liens entre des domaines que l'on pensait auparavant non connectés, tels que les groupes de Galois, les surfaces de Riemann et la théorie des nombres.

Les mathématiques discrètes regroupent classiquement les domaines des mathématiques qui étudient des structures mathématiques fondamentalement discrètes plutôt que continues.

Fondements et philosophie

Afin de clarifier les fondements des mathématiques, les domaines de la logique mathématique et de la théorie des ensembles ont été développés. La logique mathématique comprend l'étude mathématique de la logique et les applications de la logique formelle à d'autres domaines des mathématiques. La théorie des ensembles est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles ou les collections d'objets. L'expression "crise des fondements" décrit la recherche d'un fondement rigoureux pour les mathématiques qui a eu lieu d'environ 1900 à 1930. [74] Certains désaccords sur les fondements des mathématiques se poursuivent jusqu'à nos jours. La crise des fondations a été stimulée par un certain nombre de controverses à l'époque, y compris la controverse sur la théorie des ensembles de Cantor et la controverse Brouwer-Hilbert.

La logique mathématique s'occupe de placer les mathématiques dans un cadre axiomatique rigoureux et d'étudier les implications d'un tel cadre. En tant que tel, il abrite les théorèmes d'incomplétude de Gödel qui impliquent (de manière informelle) que tout système formel efficace qui contient l'arithmétique de base, si du son (ce qui signifie que tous les théorèmes qui peuvent être prouvés sont vrais), est nécessairement incomplet (ce qui signifie qu'il y a de vrais théorèmes qui ne peuvent pas être prouvés dans ce système). Quelle que soit la collection finie d'axiomes de la théorie des nombres prise comme fondement, Gödel a montré comment construire un énoncé formel qui est un vrai fait de la théorie des nombres, mais qui ne découle pas de ces axiomes. Par conséquent, aucun système formel n'est une axiomatisation complète de la théorie des nombres complets. La logique moderne est divisée en théorie de la récursivité, théorie des modèles et théorie de la preuve, et est étroitement liée à l'informatique théorique, [75] ainsi qu'à la théorie des catégories. Dans le contexte de la théorie de la récursion, l'impossibilité d'une axiomatisation complète de la théorie des nombres peut également être formellement démontrée en conséquence du théorème MRDP.

L'informatique théorique comprend la théorie de la calculabilité, la théorie de la complexité computationnelle et la théorie de l'information. La théorie de la calculabilité examine les limites de divers modèles théoriques de l'ordinateur, y compris le modèle le plus connu, la machine de Turing. La théorie de la complexité est l'étude de la traçabilité par ordinateur. Certains problèmes, bien que théoriquement résolvables par ordinateur, sont si coûteux en termes de temps ou d'espace que leur résolution risque de rester pratiquement irréalisable, même avec les progrès rapides du matériel informatique. Un problème célèbre est le " P = NP? ", l'un des problèmes du prix du millénaire. [76] Enfin, la théorie de l'information s'intéresse à la quantité de données pouvant être stockée sur un support donné, et traite donc de concepts tels que la compression et l'entropie.

Mathématiques pures

Systèmes de nombres et théorie des nombres

L'étude de la quantité commence par les nombres, d'abord les nombres naturels familiers N > et les entiers Z > ("nombres entiers") et les opérations arithmétiques sur eux, qui sont caractérisées en arithmétique. Les propriétés plus profondes des nombres entiers sont étudiées en théorie des nombres, d'où proviennent des résultats aussi populaires que le dernier théorème de Fermat. La conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach sont deux problèmes non résolus en théorie des nombres.

Au fur et à mesure que le système de nombres est développé, les entiers sont reconnus comme un sous-ensemble des nombres rationnels Q > ("fractions"). Ceux-ci, à leur tour, sont contenus dans les nombres réels, R > qui sont utilisées pour représenter les limites de suites de nombres rationnels et de quantités continues. Les nombres réels sont généralisés aux nombres complexes C > . Selon le théorème fondamental de l'algèbre, toutes les équations polynomiales à une inconnue avec des coefficients complexes ont une solution dans les nombres complexes, quel que soit le degré du polynôme. N , Z , Q , R , mathbb , mathbb , mathbb > et C > sont les premières étapes d'une hiérarchie de nombres qui comprend les quaternions et les octonions. La prise en compte des nombres naturels conduit aussi aux nombres transfinis, qui formalisent la notion d'« infini ». Un autre domaine d'étude est la taille des ensembles, qui est décrite avec les nombres cardinaux. Ceux-ci incluent les nombres aleph, qui permettent une comparaison significative de la taille d'ensembles infiniment grands.

Structure

De nombreux objets mathématiques, tels que des ensembles de nombres et de fonctions, présentent une structure interne résultant d'opérations ou de relations définies sur l'ensemble. Les mathématiques étudient ensuite les propriétés de ces ensembles qui peuvent être exprimées en termes de cette structure, par exemple la théorie des nombres étudie les propriétés de l'ensemble d'entiers qui peuvent être exprimés en termes d'opérations arithmétiques. De plus, il arrive fréquemment que différents ensembles structurés (ou structures) de ce type présentent des propriétés similaires, ce qui permet, par une étape supplémentaire d'abstraction, d'énoncer des axiomes pour une classe de structures, puis d'étudier à la fois toute la classe de structures satisfaisant ces axiomes. Ainsi on peut étudier ensemble des groupes, anneaux, corps et autres systèmes abstraits. De telles études (pour des structures définies par des opérations algébriques) constituent le domaine de l'algèbre abstraite.

Par sa grande généralité, l'algèbre abstraite peut souvent être appliquée à des problèmes apparemment sans rapport, par exemple un certain nombre de problèmes anciens concernant les constructions de compas et de règles ont finalement été résolus en utilisant la théorie de Galois, qui implique la théorie des champs et la théorie des groupes. Un autre exemple de théorie algébrique est l'algèbre linéaire, qui est l'étude générale des espaces vectoriels, dont les éléments appelés vecteurs ont à la fois une quantité et une direction, et peuvent être utilisés pour modéliser (les relations entre) des points dans l'espace. C'est un exemple du phénomène selon lequel les domaines à l'origine non liés de la géométrie et de l'algèbre ont des interactions très fortes dans les mathématiques modernes. La combinatoire étudie les moyens d'énumérer le nombre d'objets qui correspondent à une structure donnée.

( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 ) ( 3 , 2 , 1 ) (1,2,3)&(1,3,2)(2,1,3)&(2,3,1)(3,1,2)&(3,2,1) finir>>
Combinatoire La théorie du nombre Théorie des groupes La théorie des graphes Théorie de l'ordre Algèbre

Espace

L'étude de l'espace trouve son origine dans la géométrie, en particulier la géométrie euclidienne, qui combine l'espace et les nombres, et englobe le théorème de Pythagore bien connu. La trigonométrie est la branche des mathématiques qui traite des relations entre les côtés et les angles des triangles et des fonctions trigonométriques. L'étude moderne de l'espace généralise ces idées pour inclure la géométrie de dimension supérieure, les géométries non euclidiennes (qui jouent un rôle central dans la relativité générale) et la topologie. La quantité et l'espace jouent tous deux un rôle dans la géométrie analytique, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique. La géométrie convexe et discrète a été développée pour résoudre des problèmes de théorie des nombres et d'analyse fonctionnelle, mais elle est maintenant poursuivie avec un œil sur les applications en optimisation et en informatique. Au sein de la géométrie différentielle se trouvent les concepts de faisceaux de fibres et de calcul sur les variétés, en particulier le calcul vectoriel et tensoriel. Au sein de la géométrie algébrique se trouve la description des objets géométriques en tant qu'ensembles solutions d'équations polynomiales, combinant les concepts de quantité et d'espace, ainsi que l'étude de groupes topologiques, qui combinent structure et espace. Les groupes de mensonges sont utilisés pour étudier l'espace, la structure et le changement. La topologie dans toutes ses nombreuses ramifications a peut-être été le domaine de croissance le plus important des mathématiques du XXe siècle, elle comprend la topologie des ensembles de points, la topologie théorique des ensembles, la topologie algébrique et la topologie différentielle. En particulier, les exemples de topologie moderne sont la théorie de la métrisabilité, la théorie des ensembles axiomatiques, la théorie de l'homotopie et la théorie de Morse. La topologie comprend également la conjecture de Poincaré désormais résolue et les zones encore non résolues de la conjecture de Hodge. D'autres résultats en géométrie et en topologie, y compris le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler, n'ont été prouvés qu'à l'aide d'ordinateurs.

Changement

Comprendre et décrire le changement est un thème commun dans les sciences naturelles, et le calcul a été développé comme un outil pour l'étudier. Les fonctions apparaissent ici comme un concept central décrivant une quantité changeante. L'étude rigoureuse des nombres réels et des fonctions d'une variable réelle est connue sous le nom d'analyse réelle, l'analyse complexe étant le champ équivalent pour les nombres complexes. L'analyse fonctionnelle concentre l'attention sur les espaces de fonctions (généralement de dimension infinie). L'une des nombreuses applications de l'analyse fonctionnelle est la mécanique quantique. De nombreux problèmes conduisent naturellement à des relations entre une quantité et son taux de variation, et celles-ci sont étudiées sous forme d'équations différentielles. De nombreux phénomènes dans la nature peuvent être décrits par la théorie du chaos des systèmes dynamiques précise la manière dont nombre de ces systèmes présentent un comportement imprévisible mais toujours déterministe.

Mathématiques appliquées

Les mathématiques appliquées concernent les méthodes mathématiques généralement utilisées dans les sciences, l'ingénierie, les affaires et l'industrie. Ainsi, les « mathématiques appliquées » sont une science mathématique avec des connaissances spécialisées. Le terme mathématiques appliquées décrit également la spécialité professionnelle dans laquelle les mathématiciens travaillent sur des problèmes pratiques en tant que profession axée sur les problèmes pratiques, mathématiques appliquées se concentre sur la "formulation, l'étude et l'utilisation de modèles mathématiques" dans les sciences, l'ingénierie et d'autres domaines de la pratique mathématique.

Dans le passé, les applications pratiques ont motivé le développement de théories mathématiques, qui sont ensuite devenues l'objet d'études en mathématiques pures, où les mathématiques sont développées principalement pour elles-mêmes. Ainsi, l'activité des mathématiques appliquées est intimement liée à la recherche en mathématiques pures.

Statistiques et autres sciences de la décision

Les mathématiques appliquées ont un chevauchement important avec la discipline des statistiques, dont la théorie est formulée mathématiquement, en particulier avec la théorie des probabilités. Les statisticiens (travaillant dans le cadre d'un projet de recherche) "créent des données qui ont du sens" avec un échantillonnage aléatoire et avec des expériences randomisées [77] la conception d'un échantillon statistique ou d'une expérience spécifie l'analyse des données (avant que les données ne deviennent disponibles). Lorsqu'ils réexaminent les données d'expériences et d'échantillons ou lorsqu'ils analysent des données d'études d'observation, les statisticiens « donnent un sens aux données » en utilisant l'art de la modélisation et la théorie de l'inférence — avec la sélection et l'estimation de modèles, les modèles estimés et les prédictions qui en découlent doivent être testés sur de nouvelles Les données. [e]

La théorie statistique étudie les problèmes de décision tels que la minimisation du risque (perte attendue) d'une action statistique, comme l'utilisation d'une procédure, par exemple, l'estimation des paramètres, les tests d'hypothèses et la sélection des meilleurs. Dans ces domaines traditionnels de la statistique mathématique, un problème de décision statistique est formulé en minimisant une fonction objective, comme la perte ou le coût attendu, sous des contraintes spécifiques : par exemple, la conception d'une enquête implique souvent de minimiser le coût d'estimation d'une moyenne de population avec un niveau de confiance. [78] En raison de son utilisation de l'optimisation, la théorie mathématique des statistiques partage des préoccupations avec d'autres sciences de la décision, telles que la recherche opérationnelle, la théorie du contrôle et l'économie mathématique. [79]

Mathématiques computationnelles

Les mathématiques computationnelles proposent et étudient des méthodes pour résoudre des problèmes mathématiques qui sont généralement trop grands pour la capacité numérique humaine. L'analyse numérique étudie les méthodes d'analyse des problèmes à l'aide de l'analyse fonctionnelle et de la théorie de l'approximation. L'analyse numérique et, plus largement, le calcul scientifique étudient également des sujets non analytiques de la science mathématique, en particulier la théorie des matrices algorithmiques et des graphes. D'autres domaines des mathématiques computationnelles comprennent l'algèbre informatique et le calcul symbolique.

La récompense la plus prestigieuse en mathématiques est sans doute la médaille Fields, [80] [81] établie en 1936 et décernée tous les quatre ans (sauf autour de la Seconde Guerre mondiale) à jusqu'à quatre personnes. La médaille Fields est souvent considérée comme un équivalent mathématique du prix Nobel.

Le prix Wolf de mathématiques, institué en 1978, récompense l'ensemble de l'œuvre accomplie, et un autre prix international majeur, le prix Abel, a été institué en 2003. La médaille Chern a été introduite en 2010 pour récompenser l'ensemble de l'œuvre accomplie. Ces distinctions sont décernées en reconnaissance d'un ensemble particulier de travaux, qui peuvent être novateurs ou apporter une solution à un problème en suspens dans un domaine établi.

Une célèbre liste de 23 problèmes ouverts, appelée "problèmes de Hilbert", a été compilée en 1900 par le mathématicien allemand David Hilbert. Cette liste a atteint une grande célébrité parmi les mathématiciens, et au moins neuf des problèmes ont maintenant été résolus. Une nouvelle liste de sept problèmes importants, intitulée « Problèmes du prix du millénaire », a été publiée en 2000. Un seul d'entre eux, l'hypothèse de Riemann, fait double emploi avec l'un des problèmes de Hilbert. Une solution à l'un de ces problèmes entraîne une récompense de 1 million de dollars. Actuellement, un seul de ces problèmes, la conjecture de Poincaré, a été résolu.


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