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Formules pour convertir les coordonnées WGS84 (B,L) en coordonnées sphériques (phi,lambda) ?

Formules pour convertir les coordonnées WGS84 (B,L) en coordonnées sphériques (phi,lambda) ?


Comment convertir les coordonnées WGS84 (B, L) en coordonnées sphériques (phi, lambda) ?

J'ai besoin de formules ?

la chose que je me demande semble assez simple mais j'ai cherché sur Internet et la bibliothèque de mon école environ 3 jours. Je n'ai rien trouvé à ce sujet. Peut-être que quelqu'un a déjà fait ça ?


J'utiliserai des coordonnées sphériques telles que définies ici sur Wikipedia qui utilise phi et thêta (qui est probablement votre lambda).

Phi est l'angle du pôle nord. Par conséquent, si le point WGS84 est 10.0.0N, phi sera de 80 degrés. Pour un point dans l'hémisphère sud, disons 12.30.00S, phi sera de 90 + 12,5 = 102,5 degrés.

Theta est juste la longitude en degrés, si l'axe des x est la ligne allant au méridien longitude=0 (Greenwich). Il est positif et compris entre 0 et 180 pour l'hémisphère oriental et négatif pour l'hémisphère occidental. Cela devrait juste être la valeur numérique de votre longitude WGS84, avec un "-" si c'est l'ouest. Vous pouvez ajouter 360 aux thêtas négatifs pour obtenir une plage de 0 à 360.

Si vous avez besoin de coordonnées sphériques (phi ou thêta) en radians au lieu de degrés, multipliez par pi/180.


Peut-être Spacedman ai déjà donné la réponse mais je cherchais en fait des formules. J'ai trouvé cette page qui est en turc donc je vais vous donner seulement la partie que vous pouvez comprendre. Il dit qu'avec cette formulation, nous pouvons transformer nos coordonnées géographiques (ellipsoïdales) en coordonnées cartésiennes. ("h" est la hauteur ellipsoïdale)

Ensuite, j'ai trouvé cette page qui est à nouveau turque (mais je suis sûr que vous pouvez en trouver une en anglais) qui décrit comment transformer les coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques.

Donc brièvement mon approche de ce problème est comme ;

Contribution: Coordonnées géographiques ellipsoïdales et hauteur ellipsoïdale (données GPS de chaque point).

Traiter: Transformez ces coordonnées en coordonnées cartésiennes. Transformez ensuite les coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques

Production: Coordonnées sphériques.

S'il vous plaît laissez-moi savoir si vous pensez que c'est une mauvaise approche pour ce problème ou si vous pensez que c'est la bonne façon…


Aide à la distance directe du tunnel entre deux coordonnées lat/long.

Mon frère veut apporter une pancarte à la forêt Sign Post au Yukon au Canada. Il veut qu'il montre la distance à Londres, mais directement à travers un tunnel qui n'existe que dans sa tête. Il n'y a pas grand chose dans sa tête. C'est donc la distance mathématiquement la plus courte possible à travers la Terre entre la forêt de panneaux de signalisation et le mât du drapeau du palais de Buckingham.

Les deux emplacements sont ici, obtenus à partir de Google Maps : -

Il y a tout un tas de "Questions similaires" qui s'affichent sur mon écran, mais aucune ne semble calculer la distance directe via un tunnel hypothétique. Ils sont tous en surface. Il semble que la taille de la Terre soit nécessaire, et j'ai trouvé quelques paramètres pour cela à partir de ce document GPS /WGS84 :-

rayon équatorial (WGS84) - 6378137 m

rayon polaire (dérivé) - 6356752,3 m


2 réponses 2

Remarque : Ces formules ont été transcrites à partir de la note d'orientation n° 7-2 de l'EPSG. Les utilisateurs sont encouragés à utiliser ce document plutôt que le texte qui suit comme référence car les limitations dans la transcription seront évitées.

Cette méthode est utilisée par certaines applications de cartographie et de visualisation Web populaires. Il applique les formules Mercator (sphériques) standard (code de méthode 1026) aux coordonnées ellipsoïdales et le rayon de la sphère est considéré comme le demi-grand axe de l'ellipsoïde. Cette approche se rapproche uniquement de l'application plus rigoureuse des formules ellipsoïdales aux coordonnées ellipsoïdales (comme indiqué dans les codes de méthode d'opération des coordonnées de l'ensemble de données EPSG 9804 et 9805). Contrairement aux méthodes de projection Mercator sphérique ou ellipsoïdale, cette méthode n'est pas conforme : le facteur d'échelle varie en fonction de l'azimut, ce qui crée une distorsion angulaire. Malgré la distorsion angulaire, il n'y a pas de convergence dans le méridien.

Les formules pour dériver les coordonnées Est et Nord projetées à partir de la latitude ellipsoïdale (lat) et de la longitude (lon) dérivent d'abord le rayon de la sphère (R) à partir de : R = a

Puis en appliquant les formules sphériques de Mercator :

E = FE + R(lon - lonO) N = FN + R ln[tan(pi/4 + lat/2)] où FE et FN sont de faux abscisse et faux rien à l'origine de la projection, les autres symboles sont énumérés ci-dessus et les logarithmes sont naturels.

Si latitude lat = 90º, N est infini. La formule ci-dessus pour N échouera près du pôle et ne doit pas être utilisée vers le pôle de 88º.

Les formules inverses pour dériver la latitude et la longitude sur la sphère à partir des valeurs E et N sont : D = -(N-FN)/R = (FN-N)/R lat = pi/2 - 2 atan(e^D) où e=base de logarithmes naturels, 2,7182818. lon = [(E - FE)/R] + lonO

Si q_alpha est le facteur d'échelle à un azimut alpha donné, c'est une fonction de R', le rayon de courbure à cet azimut dérivé de : R' = rho nu / (nu cos^2alpha + rho sin^2alpha) q_alpha = R / (R' cos lat) où rho et nu sont les rayons de courbure de l'ellipsoïde à latitude lat dans le plan du méridien et perpendiculaire au méridien respectivement rho = a(1 - e^2)/(1 - e^ 2 sin^2(lat))^3/2 nu = a /(1 - e^2 sin^2(lat))^1/2

Alors quand l'azimut est 0º, 180º, 90º ou 270º les facteurs d'échelle dans le méridien (h) et sur le parallèle (k) sont : q_0 = q_180 = h = R / (rho cos(lat)) q_90 = q_270 = k = R / (nu cos(lat)) ce qui démontre la non-conformité de la méthode Pseudo Mercator.

La distorsion angulaire maximale oméga est fonction de la latitude et se trouve à partir de : oméga = 2 asin<[ABS(h - k)] / (h + k)>

J'ai eu le même problème en essayant d'obtenir les coordonnées de certains points spatiaux que mon modèle a générés dans R et il m'a fallu des heures pour trouver une solution.

Ce que j'ai fait, après tout, a été d'importer mes cartes dans QGIS (très simple à installer), puis d'enregistrer la carte (clic droit -> enregistrer sous) en tant que WGS84 réel et non psedo Merc.


Conversion

Les mathématiques essentielles requises pour convertir les coordonnées sont couvertes sur : http://williams.best.vwh.net/avform.htm

La bibliothèque SimGear fournit des méthodes statiques de conversion dans la classe SGGeodesy , à trouver dans simgear/math/SGGeodesy.hxx :

  • SGGeodesy::SGCartToGeod(const SGVec3<double>& cart, SGGeod& geod) convertit un point cartésien en coordonnées géodésiques.
  • SGGeodesy::SGGeodToCart(const SGGeod& geod, SGVec3<double>& cart) convertit un point géodésique en coordonnées cartésiennes.
  • SGGeodesy::SGCartToGeoc(const SGVec3<double>& cart, SGGeoc& geoc) convertit un point cartésien en coordonnées géocentriques.
  • SGGeodesy::SGGeocToCart(const SGGeoc& geoc, SGVec3<double>& cart) convertit un point géocentrique en coordonnées cartésiennes.

De plus, les classes SGGeod et SGGeoc (trouvées dans simgear/math/SGGeod.hxx et simgear/math/SGGeoc.hxx , respectivement) fournissent des méthodes de conversion statiques pour plus de commodité, qui utilisent les méthodes répertoriées ci-dessus.

Notez que la plupart de ces conversions sont coûteuses à calculer - vérifiez les liens externes pour voir comment cela fonctionne.


Condition aux limites de Neumann en coordonnées sphériques

J'essaye de résoudre l'équation de la chaleur
$ abla^2 u = frac<1>frac$ dans la région
$ a leq r leq b, 0 leq varphi leq 2pi, 0 leq heta leq heta_0 $
avec $ heta_0$ un nombre fixe, avec des conditions aux limites
$ frac = 0 in r=a, r=b $
et $ frac = 0 in heta = heta_0 $

J'ai du mal à trouver les fonctions propres et les valeurs propres associées à $ heta$ . S'agit-il des polynômes de Legendre ? Et s'ils ne le sont pas, est-il possible de les retrouver analytiquement ?

Premièrement, j'ai séparé la partie temporelle de la partie spatiale, $u = T(t) phi(r, heta,varphi)$ , obtenant : $ egin T'' = -lambda T abla^2 phi = -lambda phi end $

Ensuite, j'ai à nouveau séparé la fonction spatiale $phi$ en trois parties, chacune correspondant à chaque coordonnée sphérique : $ phi = F(varphi)R(r)G( heta) $

  • Si on applique des conditions périodiques à $F$ ( $u(varphi=-pi) = u(varphi=pi)$ et $frac(varphi=- pi) = frac(varphi=pi)$ , les fonctions propres associées à $varphi$ sont $ cos(mvarphi), sin(m varphi) $

avec $m$ un entier non négatif.

avec des fonctions de Bessel $J_k$ et $Y_k$ d'ordre $k$ de première et deuxième sorte, respectivement. Nous devrions appliquer les conditions de Neumann dans $r=a$ et $r=b$ .

Mes doutes arrivent lorsqu'il s'agit de $G$ . Nous avons besoin que $G$ soit borné à $ heta = 0$ et aussi pour vérifier la condition de Neumann à $ heta = heta_0$ . J'ai donc pensé que nous aurions besoin de polynômes de Legendre (ou, au moins, de fonctions associées à Legendre).


Contenu

Le tableau suivant répertorie les systèmes de coordonnées communs utilisés par la communauté astronomique. Le plan fondamental divise la sphère céleste en deux hémisphères égaux et définit la ligne de base pour les coordonnées latitudinales, similaire à l'équateur dans le système de coordonnées géographiques. Les pôles sont situés à ±90° du plan fondamental. La direction principale est le point de départ des coordonnées longitudinales. L'origine est le point de distance zéro, le "centre de la sphère céleste", bien que la définition de la sphère céleste soit ambiguë quant à la définition de son point central.

Système de coordonnées [2] Point central
(origine)
Plan fondamental
(0° de latitude)
Pôles Coordonnées Sens primaire
(0° de longitude)
Latitude Longitude
Horizontal (également appelé alt -az ou el -az) Observateur Horizon Zénith, nadir Altitude ( une ) ou élévation Azimut ( UNE ) Point nord ou sud de l'horizon
Équatorial Centre de la Terre (géocentrique) ou Soleil (héliocentrique) Équateur céleste Pôles célestes Déclinaison ( δ ) Ascension droite ( α )
ou angle horaire ( h )
Equinoxe de mars
Écliptique Écliptique Pôles écliptiques Latitude écliptique ( β ) Longitude écliptique ( λ )
Galactique Centre du Soleil Avion galactique Pôles galactiques Latitude galactique ( b ) Longitude galactique ( je ) Centre Galactique
Supergalactique Avion supergalactique Pôles supergalactiques Latitude supergalactique ( SGB ) Longitude supergalactique ( SGL ) Intersection du plan supergalactique et du plan galactique

Système horizontal Modifier

le horizontal, ou système d'altitude-azimut, est basé sur la position de l'observateur sur Terre, qui tourne autour de son propre axe une fois par jour sidéral (23 heures, 56 minutes et 4,091 secondes) par rapport au fond de l'étoile. Le positionnement d'un objet céleste par le système horizontal varie avec le temps, mais c'est un système de coordonnées utile pour localiser et suivre des objets pour les observateurs sur Terre. Il est basé sur la position des étoiles par rapport à l'horizon idéal d'un observateur.

Système équatorial Modifier

le équatorial système de coordonnées est centré au centre de la Terre, mais fixe par rapport aux pôles célestes et à l'équinoxe de mars. Les coordonnées sont basées sur l'emplacement des étoiles par rapport à l'équateur terrestre s'il était projeté à une distance infinie. L'équateur décrit le ciel vu du système solaire, et les cartes d'étoiles modernes utilisent presque exclusivement des coordonnées équatoriales.

le équatorial est le système de coordonnées normal pour la plupart des astronomes professionnels et de nombreux astronomes amateurs ayant une monture équatoriale qui suit le mouvement du ciel pendant la nuit. Les objets célestes sont trouvés en ajustant les échelles du télescope ou d'un autre instrument afin qu'elles correspondent aux coordonnées équatoriales de l'objet sélectionné à observer.

Les choix populaires de pôle et d'équateur sont les anciens systèmes B1950 et J2000 modernes, mais un pôle et un équateur "de date" peuvent également être utilisés, c'est-à-dire appropriés à la date considérée, comme lorsqu'une mesure de la position d'une planète ou un vaisseau spatial est fabriqué. Il existe également des subdivisions en coordonnées « moyenne de la date », qui font la moyenne ou ignorent la nutation, et « vraie de la date », qui inclut la nutation.

Système écliptique Modifier

Le plan fondamental est le plan de l'orbite terrestre, appelé plan de l'écliptique. Il existe deux variantes principales du système de coordonnées écliptiques : les coordonnées écliptiques géocentriques centrées sur la Terre et les coordonnées écliptiques héliocentriques centrées sur le centre de masse du système solaire.

Le système écliptique géocentrique était le principal système de coordonnées de l'astronomie ancienne et est toujours utile pour calculer les mouvements apparents du Soleil, de la Lune et des planètes. [3]

Le système écliptique héliocentrique décrit le mouvement orbital des planètes autour du Soleil et se concentre sur le barycentre du Système solaire (c'est-à-dire très proche du centre du Soleil). Le système est principalement utilisé pour calculer les positions des planètes et d'autres corps du système solaire, ainsi que pour définir leurs éléments orbitaux.

Système galactique Modifier

Le système de coordonnées galactiques utilise le plan approximatif de notre galaxie comme plan fondamental. Le système solaire est toujours le centre du système de coordonnées et le point zéro est défini comme la direction vers le centre galactique. La latitude galactique ressemble à l'altitude au-dessus du plan galactique et la longitude galactique détermine la direction par rapport au centre de la galaxie.

Système supergalactique Modifier

Le système de coordonnées supergalactiques correspond à un plan fondamental qui contient un nombre supérieur à la moyenne de galaxies locales dans le ciel vu de la Terre.

Les conversions entre les divers systèmes de coordonnées sont données. [4] Voir les notes avant d'utiliser ces équations.

Notation Modifier

  • Coordonnées horizontales
    • A , azimut
    • h , altitude
    • , ascension droite
    • , déclinaison
    • , angle horaire
    • , longitude écliptique
    • , latitude écliptique
    • l , longitude galactique
    • b , latitude galactique
    • λo , la longitude de l'observateur
    • φo , latitude de l'observateur
    • , obliquité de l'écliptique (environ 23,4°)
    • θL , heure sidérale locale
    • θg , temps sidéral de Greenwich

    Angle horaire ascension droite Modifier

    Équatoriale ↔ écliptique Modifier

    Les équations classiques, dérivées de la trigonométrie sphérique, pour la coordonnée longitudinale sont présentées à droite d'une parenthèse en divisant simplement la première équation par la seconde donne l'équation tangente commode vue sur la gauche. [5] L'équivalent de la matrice de rotation est donné sous chaque cas. [6] Cette division est ambiguë car tan a une période de 180° ( ) alors que cos et sin ont des périodes de 360° (2 ).

    Équatorial ↔ horizontal Modifier

    Notez que l'azimut ( A ) est mesuré à partir du point sud, devenant positif vers l'ouest. [7] La ​​distance zénithale, la distance angulaire le long du grand cercle du zénith à un objet céleste, est simplement l'angle complémentaire de l'altitude : 90° − une . [8]

    En résolvant le bronzage (UNE) équation pour UNE , afin d'éviter l'ambiguïté de l'arctangente, l'utilisation de l'arctangente à deux arguments, notée arctan(X,oui) , est recommandé. L'arctangente à deux arguments calcule l'arctangente de oui / X , et représente le quadrant dans lequel il est calculé. Ainsi, conformément à la convention d'azimut mesuré depuis le sud et d'ouverture positive vers l'ouest,

    Si la formule ci-dessus produit une valeur négative pour UNE , il peut être rendu positif en ajoutant simplement 360°.

    Encore une fois, en résolvant le bronzage (h) équation pour h , l'utilisation de l'arctangente à deux arguments qui représente le quadrant est recommandée. Ainsi, encore une fois conforme à la convention d'azimut mesuré depuis le sud et d'ouverture positive vers l'ouest,

    Équatorial ↔ galactique Modifier

    Ces équations [14] servent à convertir les coordonnées équatoriales en coordonnées galactiques.

    Si les coordonnées équatoriales se rapportent à un autre équinoxe, elles doivent être précédées de leur place à J2000.0 avant d'appliquer ces formules.


    4.2 Systèmes de référence de coordonnées en projection

    Les coordonnées des données spatiales se présentent généralement sous la forme de coordonnées rectangulaires dans le plan de la carte, avec une étiquette (x, y, X, Y, ou alors E, N). Les formules utilisées pour convertir des coordonnées sphériques ou ellipsoïdales (géodétiques) curvilignes en un plan de carte, représentent des projections cartographiques. Les coordonnées sont ensuite définies dans un système de référence de coordonnées projetées. Lors de l'exécution de projections cartographiques, des déformations d'angles (formes), de longueurs et de surfaces se produisent. Généralement, selon le type de déformation, les projections sont séparées en projections conformes (maintien de la fidélité des formes et des angles), à aire égale (équivalent, aucune déformation des zones) et projections conditionnelles. La conversion de coordonnées curvilignes en coordonnées rectangulaires est appelée une tâche cartographique et vice versa, la conversion de coordonnées rectangulaires en coordonnées curvilignes est appelée une tâche cartographique inverse.

    Pour plus de détails sur les projections, voir (Jovanović 1984, Snyder (1987) , Canters et Decleir (1989) , Bugayevskiy et Snyder (2013) ) .

    UNE système de référence de coordonnées projetées est un modèle géométrique qui définit :

    Modèle de la forme de la Terre (par exemple, ellipsoïde avec les paramètres a et e)

    Premier méridien (par exemple, méridien de Greenwich)

    Une fois que les coordonnées projetées sont connues et que le système de référence de coordonnées est défini, il est possible de convertir les coordonnées d'un système de référence de coordonnées à un autre, Figure 4.4.

    Figure 4.4 : Représentation schématique de la conversion d'un système de coordonnées dans un autre.

    Les références

    Jovanović, Velibor. 1984. Matematička Kartografija. VGI.

    Snyder, John Parr. 1987. Projections cartographiques – Un manuel de travail. Vol. 1395. Imprimerie du gouvernement américain.

    Canters, Frank et Hugo Decleir. 1989. Le monde en perspective : un répertoire des projections de la carte du monde. John Wiley & Sons.

    Bugayevskiy, Lev M et John Snyder. 2013. Projections cartographiques : un manuel de référence. Presse CRC.


    Les coordonnées écliptiques et galactiques sont des systèmes de coordonnées sphériques qui impliquent de mesurer des angles sur la sphère céleste. Il existe deux manières équivalentes de convertir entre ces deux systèmes de coordonnées :

    1. Une transformation en dérivant une matrice de rotation générale, par exemple en utilisant les angles d'Euler
    2. Trouver un bon triangle sphérique et calculer ses côtés et ses angles à l'aide de la trigonométrie sphérique.

    Regardons de plus près la deuxième méthode. Un triangle sphérique est un triangle sur une sphère unité (dans notre cas la sphère céleste) qui est formé par l'intersection de trois grands cercles.

    Il a trois "angles" ($A$, $B$ et $C$) ainsi que trois "côtés" (les longueurs d'arc $a$, $b$ et $c$). Notez que les côtés sont en fait aussi des angles. Il existe plusieurs relations utiles entre ces 6 éléments : les plus fondamentales sont les règles de cosinus: $ egin cos a &= cos b, cos c + sin b, sin c, cos A, cos b &= cos c, cos a + sin c, sin a, cos B, cos c &= cos a, cos b + sin a, sin b, cos C. end $ A partir de ceux-ci, on peut aussi déduire règles sinusoïdales: $ frac = frac = frac, $ et le règles sinus-cosinus: $ egin sin a, cos B &= cos b, sin c - sin b, cos c, cos A, sin b, cos C &= cos c, sin a - sin c, cos a, cos B, sin c, cos A &= cos a, sin b - sin a, cos b, cos C. end $ Maintenant, nous pouvons utiliser ces identités pour convertir entre deux systèmes de coordonnées sphériques. Considérez la figure suivante :

    Cette figure montre la transformation des coordonnées équatoriales en coordonnées galactiques, mais la transformation des coordonnées écliptiques en coordonnées galactiques est analogue. $P$ est le pôle équatorial, $gamma$ est le point vernal, $G$ est le pôle galactique et $B$ est le centre galactique. Le plan galactique et le plan équatorial se coupent à la droite $SC$, et $K$ est l'intersection du plan galactique avec le grand cercle passant par $G$ et $P$. Un objet céleste, situé à $R$, a des coordonnées équatoriales $(alpha,delta)$ et des coordonnées galactiques $(l,b)$. De plus, le pôle galactique a des coordonnées équatoriales $(alpha_G,delta_G)$ (dans la figure, elles sont appelées $(alpha',delta')$ et le centre galactique a des coordonnées équatoriales $(alpha_B,delta_B )$ (non représenté sur la figure). A l'époque J2000 (voir wikipedia), $ egin alpha_G &= 12^ exte,51^ exte.4 = 192^circ.85,&qquad delta_G &= +27^circ.13, alpha_B &= 17^ ext,45^ exte.6 = 266^circ.40,&qquad delta_B &= - 28^circ.94. finir $

    Afin de convertir entre les coordonnées équatoriales et galactiques, il faut maintenant résoudre le triangle sphérique rose $PGR$. Il est simple de voir que les trois côtés sont $90^circ - delta_G$, $90^circ - b$ et $90^circ - delta$. L'angle entre $PG$ et $PR$ est $alpha-alpha_G$. Enfin, pour trouver l'angle entre $PG$ et $GR$ nous devons résoudre un autre triangle sphérique, à savoir $PKB$ : la longueur de l'arc $PB$ est $90^circ - delta_B$, la longueur de l'arc $PK $ est $delta_G$ (puisque la longueur de l'arc $GK$ est $90^circ$), et l'angle entre $PB$ et $PK$ est $alpha_K-alpha_B$, avec $alpha_K=alpha_G+ 180^circ$. Par conséquent, en appliquant la règle du cosinus dans $PKB$, nous trouvons $ egin cos(BK) &= sindelta_B,cosdelta_G - cosdelta_B,sindelta_G,cos(alpha_G-alpha_B), &= -0.4307 -0.1130 = - 0.5437, fin $ pour que l'angle $BK$ soit égal à 122^circ.9$. Par conséquent, l'angle entre $PG$ et $GR$ est de 122^circ.9-l$. Nous pouvons maintenant appliquer les règles de cosinus et de sinus dans le triangle $PGR$, pour convertir les coordonnées équatoriales en coordonnées galactiques. Nous obtenons $ egin sin b &= sindelta_G,sindelta + cosdelta_G,cosdelta,cos(alpha-alpha_G), cos b,sin(122^ circ.9-l) &= cosdelta,sin(alpha-alpha_G), cos b,cos(122^circ.9-l) &= cosdelta_G ,sindelta - sindelta_G,cosdelta,cos(alpha-alpha_G). finir $ (la première équation est la règle de cosinus appliquée à $GR$, la seconde est la règle de sinus entre $GR$ et $PR$, et la troisième est la règle de sinus-cosinus pour $GR$). Ces trois équations peuvent être résolues pour obtenir $(b,l)$. Inversement, des coordonnées galactiques aux coordonnées équatoriales : $ egin sindelta &= sindelta_G,sin b + cosdelta_G,cos b,cos(122^circ.9-l), cosdelta,sin (alpha-alpha_G) &= cos b,sin(122^circ.9-l), cosdelta,cos(alpha-alpha_G) &= cosdelta_G ,sin b - sindelta_G,cos b,cos(122^circ.9-l). finir $ La conversion entre les coordonnées écliptiques et galactiques est complètement analogue, avec les coordonnées équatoriales $(alpha,delta)$ remplacées par les coordonnées écliptiques $(lambda,eta)$, et $ egin lambda_G &= 180^circ.01,&qquad eta_G &= +29^circ.80, lambda_B &= 266^circ.84,&qquad eta_B &= - 5^ vers 54. finir $ Nous trouvons $ egin cos(BK) &= sineta_B,coseta_G - coseta_B,sineta_G,cos(lambda_G-lambda_B), &= -0.1119, end $ pour que l'angle $BK$ soit $96^circ.43$. Enfin, $ egin sin b &= sineta_G,sineta + coseta_G,coseta,cos(lambda-lambda_G), cos b,sin(96^ circ.43-l) &= coseta,sin(lambda-lambda_G), cos b,cos(96^circ.43-l) &= coseta_G ,sineta - sineta_G,coseta,cos(lambda-lambda_G), end $ et inversement $ egin sineta &= sineta_G,sin b + coseta_G,cos b,cos(96^circ.43-l), coseta,sin (lambda-lambda_G) &= cos b,sin(96^circ.43-l), coseta,cos(lambda-lambda_G) &= coseta_G ,sin b - sineta_G,cos b,cos(96^circ.43-l). finir $


    2 réponses 2

    Tout d'abord, $mathbf = xmathbf + ymathbf + zmathbf$ converti en coordonnées sphériques est juste $mathbf = ho oldsymbol $. C'est parce que $mathbf$ est un champ de vecteurs pointant radialement vers l'extérieur, et pointe donc dans la direction de $oldsymbol$, et le vecteur associé à $(x,y,z)$ a une magnitude $|mathbf(x,y,z)| = sqrt = ho$, la distance de l'origine à $(x,y,z)$.

    Vous avez également demandé où

    $commenceroldsymbol oldsymbol oldsymbol end = commencer sin hetacosphi & sin hetasinphi & cos heta cos hetacosphi & cos hetasinphi & -sin heta - sinphi & cosphi & 0 end commencer mathbf mathbf mathbf end$

    vient de. Regardons d'abord le cas 2D plus simple. Pour un point $(x,y)$ il est utile d'imaginer que vous êtes sur un cercle centré à l'origine. Dans ce cas, les deux directions fondamentales que vous pouvez déplacer sont perpendiculaires au cercle ou le long du cercle. Pour la direction perpendiculaire, nous utilisons le vecteur unité radiale pointant vers l'extérieur $mathbf>$. Pour l'autre direction, se déplacer le long du cercle signifie (instantanément) que vous vous déplacez tangent à celui-ci, et nous prenons le vecteur unitaire dans ce cas pour être $oldsymbol$, pointant dans le sens antihoraire. Par exemple, supposons que vous soyez au point $(1/sqrt<2>,1/sqrt<2>)$. Ensuite, dans le graphique ci-dessous, $mathbf>$ est en rouge et $oldsymbol$ est en jaune.

    Notez que cela signifie que, contrairement aux vecteurs unitaires en coordonnées cartésiennes, $mathbf>$ et $oldsymbol>$ ne sont pas constants, ils changent en fonction de la valeur de $(x,y)$.

    Maintenant, qu'en est-il d'une formule pour $mathbf>$? Si nous nous déplaçons perpendiculairement au cercle, nous gardons $ heta$ fixe dans la représentation des coordonnées polaires $(r cos heta, r sin heta)$. Le vecteur $mathbf>$ est le vecteur unitaire dans la direction de ce mouvement. Si nous interprétons $r$ comme le temps, prendre la dérivée par rapport à $r$ nous donnera le vecteur vitesse, dont nous savons qu'il pointe dans la direction du mouvement. On veut donc le vecteur unitaire dans la direction de $frac (r cos heta, r sin heta) = (cos heta, sin heta)$. C'est déjà un vecteur unitaire, donc $mathbf> = cos heta mathbf> + sin heta mathbf> $. De même, se déplacer dans le sens inverse des aiguilles d'une montre le long du cercle implique de garder $r$ fixe dans la représentation des coordonnées polaires $(r cos heta, r sin heta)$. Ainsi pour trouver $oldsymbol$ on prend $frac (r cos heta, r sin heta) = (-r sin heta, r cos heta)$. Ce n'est pas nécessairement un vecteur unitaire, nous devons donc le normaliser. Cela donne $oldsymbol= -sin heta mathbf> + cos heta mathbf> $. Sous forme matricielle, c'est $egin mathbf> oldsymbolend = commencer cos heta & sin heta -sin heta & cos heta end commencer mathbf> mathbf> fin$.

    En remontant jusqu'aux coordonnées sphériques, pour un point donné $(x,y,z)$, imaginez que vous êtes à la surface d'une sphère. Les trois directions fondamentales sont perpendiculaires à la sphère, le long d'une ligne de longitude ou le long d'une ligne de latitude. Le premier correspond à $oldsymbol$, le second à $oldsymbol$, et le troisième à $oldsymbol>$. (Cela utilise la convention de la page Wikipedia, qui a $ heta$ et $phi$ inversés par rapport à ce que vous avez.) Ainsi, pour trouver $oldsymbol$, $oldsymbol$, et $oldsymbol>$, on prend la dérivée de la représentation en coordonnées sphériques $( ho sin heta cos phi, ho sin heta sin phi , ho cos heta)$ par rapport à $ ho$, $ heta$ et $phi$, respectivement, puis normaliser chacun. C'est là que la matrice

    $commenceroldsymbol oldsymbol oldsymbol end = commencer sin hetacosphi & sin hetasinphi & cos heta cos hetacosphi & cos hetasinphi & -sin heta - sinphi & cosphi & 0 end commencer mathbf mathbf mathbf end$

    Comme le souligne Henning Makholm, une façon de voir ce que nous faisons ici est de faire tourner le $mathbf>, mathbf>, mathbf>$ vecteurs. La matrice de transformation peut ainsi être considérée comme une matrice de changement de base. Cela signifie que vous pouvez également (et plus généralement) convertir $mathbf = xmathbf + ymathbf + zmathbf$ aux coordonnées sphériques via $egin sin heta cos phi & sin heta sin phi & cos heta cos heta cos phi & cos heta sin phi & - sin heta - sin phi & cos phi & 0 end commencer x y z end = commencer sin heta cos phi & sin heta sin phi & cos heta cos heta cos phi & cos heta sin phi & - sin heta - sin phi & cos phi & 0 end commencer ho sin heta cos phi ho sin heta sin phi ho cos heta end $ $= egin ho sin^2 heta cos^2 phi + ho sin^2 heta sin^2 phi + ho cos^2 heta ho sin heta cos heta cos^2 phi + ho sin heta cos heta sin^2 phi - ho sin heta cos heta - ho sin heta sin phi cos phi + ho sin heta sin phi cos phi + 0 end = commencer ho 0 0fin.$ On obtient donc $mathbf = ho oldsymbol + 0 oldsymbol + 0 oldsymbol> = ho oldsymbol>$, tout comme nous nous sommes disputés au début.


    Système géodésique[modifier]

    Afin d'être sans ambiguïté sur la direction de la surface "verticale" et "horizontale" au-dessus de laquelle ils mesurent, les cartographes choisissent un ellipsoïde de référence avec une origine et une orientation données qui correspondent le mieux à leur besoin de la zone à cartographier. Ils choisissent ensuite la cartographie la plus appropriée du système de coordonnées sphériques sur cet ellipsoïde, appelé système de référence terrestre ou système géodésique.

    Les données peuvent être globales, ce qui signifie qu'elles représentent la Terre entière, ou elles peuvent être locales, ce qui signifie qu'elles représentent un ellipsoïde qui correspond le mieux à une partie seulement de la Terre. Les points à la surface de la Terre se déplacent les uns par rapport aux autres en raison du mouvement des plaques continentales, de l'affaissement et du mouvement diurne des marées terrestres causés par la Lune et le Soleil. Ce mouvement quotidien peut atteindre un mètre. Les déplacements continentaux peuvent atteindre 10 cm par an, ou 10 m par siècle. Une zone anticyclonique du système météorologique peut provoquer un enfoncement de 5 mm . La Scandinavie s'élève de 1 cm par an en raison de la fonte des calottes glaciaires de la dernière période glaciaire, mais l'Écosse voisine n'augmente que de 0,2 cm . Ces changements sont insignifiants si une donnée locale est utilisée, mais sont statistiquement significatifs si une donnée globale est utilisée. Ώ]

    Des exemples de systèmes géodésiques mondiaux incluent le système géodésique mondial (WGS 84, également connu sous le nom d'EPSG:4326 Δ]), le système de référence par défaut utilisé pour le système de positionnement global, [note 3] et ​​le cadre international de référence terrestre (ITRF) , utilisé pour estimer la dérive des continents et la déformation de la croûte. Ε] La distance au centre de la Terre peut être utilisée à la fois pour des positions très profondes et pour des positions dans l'espace. Ώ]

    Les datums locaux choisis par une organisation cartographique nationale comprennent le datum nord-américain, l'ED50 européen et l'OSGB36 britannique. Étant donné un emplacement, la référence fournit la latitude ϕ et la longitude λ . Au Royaume-Uni, trois systèmes communs de latitude, longitude et hauteur sont utilisés. Le WGS   84 diffère à Greenwich de celui utilisé sur les cartes publiées OSGB36 d'environ 112   m. Le système militaire ED50, utilisé par l'OTAN, diffère d'environ 120   m à 180   m. Ώ]

    La latitude et la longitude sur une carte établie par rapport à un système géodésique local peuvent ne pas être les mêmes que celles obtenues à partir d'un récepteur GPS. La conversion de coordonnées d'un datum à un autre nécessite une transformation de datum telle qu'une transformation de Helmert, bien que dans certaines situations une simple traduction puisse être suffisante. Ζ]

    Dans les logiciels SIG courants, les données projetées en latitude/longitude sont souvent représentées sous la forme d'un Système de coordonnées géographiques. Par exemple, les données en latitude/longitude si le datum est le datum nord-américain de 1983 sont désignées par 'GCS North American 1983'.