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Mercator vs Web Mercator pour les cartes topographiques à grande échelle

Mercator vs Web Mercator pour les cartes topographiques à grande échelle


J'ai 8 téraoctets d'images en projection lon/lat ou UTM que j'utiliserai pour la base de cartes topographiques à grande échelle.

J'ai étudié les différences entre Mercator et Web Mercator, mais je ne sais toujours pas quelle projection est la plus appropriée pour les cartes topographiques à grande échelle (échelles comprises entre 1:24k et 1:63k). Je comprends que Mercator est conforme contrairement à Web Mercator qui semble être un avantage.

J'aimerais projeter ces ensembles de données en UTM, car je comprends qu'il s'agit de la projection recommandée par le Comité de cartographie des Nations Unies pour les cartes topographiques, car elle minimise la distorsion angulaire à grande échelle (et à des détails supérieurs à 1:24k) - et parce qu'environ la moitié de mon les données sont déjà en UTM.

Dans le même temps, j'aimerais pouvoir zoomer de manière transparente à partir d'une vaste zone géographique (~ 1:250k jusqu'à 1:24k. Cela rend les zones UTM problématiques car je n'aurai pas la capacité de reprojeter des zones UTM adjacentes dans un UTM commun zone à la volée.


Web Mercator est rarement la bonne réponse, à moins que vous ne vouliez des images qui s'alignent avec d'autres éléments de Web Mercator.

Un extrait de l'Implementation Practice Web Mercator Map Projection de la NGA, qui mérite d'être lu dans son intégralité :

5.2 La projection cartographique Web Mercator a plusieurs formules et paramètres mathématiques de définition qui rendent les données référencées à Web Mercator incompatibles avec l'ellipsoïde WGS 84 référencé GEOINT. Ces incompatibilités incluent :

5.2.1 Équations sphériques. L'utilisation de mathématiques sphériques simples pour convertir les données de latitude et de longitude basées sur des ellipsoïdes en coordonnées planes sphériques.

5.2.2 Non conforme. L'utilisation d'un facteur d'échelle de points qui varie en fonction de l'azimut et crée des distorsions angulaires. Cela signifie que Web Mercator n'est pas une projection conforme et que les vraies lignes de rhumb ne sont pas des lignes droites sur une projection Web Mercator.

5.3 Les différences mathématiques décrites en 5.2.1 et 5.2.2 peuvent entraîner des erreurs dans les coordonnées sphériques du plan Mercator Web de plus de 40 km par rapport aux coordonnées du plan Mercator basées sur l'ellipsoïde WGS 84.

5.4 Visuellement, les coordonnées du plan Web Mercator semblent représenter une carte de « style Mercator » correctement rendue, et de nombreuses couches de données Web Mercator s'aligneront sur une carte ou un écran d'ordinateur. Les décalages ne deviennent apparents que lorsque les coordonnées sphériques du plan Mercator Web sont comparées aux coordonnées du plan Mercator basées sur l'ellipsoïde WGS 84, par ex. points de contrôle, données GPS et cartes enregistrées sur ellipsoïde WGS 84, données et GEOINT.


Cela dépend de l'étendue de votre domaine d'intérêt.

Mercator transversal est conforme le long du méridien central, tandis que Mercator (sous sa forme originale) est conforme le long de la latitude centrale. Cela ne doit pas être l'équateur.

Donc, si votre région est principalement orientée nord-sud, tmerc est mieux, si elle est plus est-ouest, merc est mieux.

Le transversal est limité à la moitié visible du monde, il ne convient donc pas à l'ensemble de l'Asie (ou de la Russie).


Projections cartographiques couramment utilisées

Le plus ancien enregistrement connu de cette projection est de Ptolémée vers 150 après JC. Cependant, on pense que cette projection était bien connue bien avant cette époque - probablement aussi loin que le IIe siècle av.

Aujourd'hui, c'est probablement l'une des projections azimutales les plus utilisées. Il est le plus souvent utilisé sur les zones polaires, mais peut être utilisé pour des cartes à petite échelle de continents tels que l'Australie. Le grand attrait de la projection est que la Terre apparaît comme si elle était vue de l'espace ou d'un globe.

Il s'agit d'une projection conforme dans la mesure où les formes sont bien conservées sur la carte, bien que des distorsions extrêmes se produisent vers le bord de la carte. Les directions sont vraies à partir du centre de la carte (le point de contact de notre « feuille de papier » imaginaire), mais la carte n'a pas une surface égale.

Une caractéristique intéressante de la projection stéréographique est que toute ligne droite passant par le point central est un grand cercle. L'avantage de ceci est que pour un lieu d'intérêt (par exemple Canberra, la capitale de l'Australie) une carte qui utilise la projection stéréographique et est centrée sur ce lieu d'intérêt de vraies distances peuvent être calculées par rapport à d'autres lieux d'intérêt (par exemple Canberra à Sydney ou Canberra à Darwin ou Canberra à Wellington, Nouvelle-Zélande).

Voici deux exemples de cartes utilisant la projection stéréographique sur des zones polaires. Dans ceux-ci, les lignes rayonnantes sont des Grands Cercles. Informations de projection : Stéréographique centré sur 140° Est et 90° Sud (le Pôle Sud) et 90° Nord (le Pôle Nord), avec un rayon de 30° à l'extérieur de chaque Pôle.

Produit à l'aide de G.PROJECTOR – un logiciel développé par la NASA et le Goddard Institute for Spatial Studies. Information de projection : Stéréographique centrée sur 145° Est et 30° Sud, avec un rayon de 30° hors du Pôle. En cela, les Grands Cercles ne sont pas aussi évidents qu'avec les deux cartes polaires ci-dessus, mais le même principe s'applique : toute ligne droite qui passe par le point central est un Grand Cercle. Ceci est un exemple de la façon dont un Grand Cercle n'a pas à être une ligne définie de Longitude de Latitude.

Projection conique – Conique conforme de Lambert

Johann Heinrich Lambert était un mathématicien et scientifique allemand ⁄ français. Ses mathématiques étaient considérées comme révolutionnaires pour l'époque et sont toujours considérées comme importantes aujourd'hui. En 1772, il publie à la fois sa projection conique conforme et la projection transversale de Mercator.

Aujourd'hui, la projection conique conforme de Lambert est devenue une projection standard pour cartographier de grandes zones (à petite échelle) dans les latitudes moyennes - telles que les États-Unis, l'Europe et l'Australie. Il est également devenu particulièrement populaire avec les cartes aéronautiques telles que la série de cartes World Aeronautical Charts à l'échelle 1:100 000.

Cette projection utilisait couramment deux parallèles standard (lignes de latitudes qui sont des cercles concentriques inégalement espacés).

La projection est conforme dans la mesure où les formes sont bien conservées dans une large mesure près des parallèles standard. Pour les cartes du monde, les formes sont extrêmement déformées par rapport aux parallèles standard. C'est pourquoi il est très apprécié pour les cartes régionales dans les zones de latitude moyenne (environ 20° à 60° Nord et Sud).

Les distances ne sont vraies que le long des parallèles standard. Sur l'ensemble de la carte, les directions sont généralement vraies.

Ces deux cartes mettent en évidence l'importance de sélectionner soigneusement votre ou vos parallèles standard. Pour le premier les Parallèles Standard sont au Nord et pour le second ils sont au Sud. Informations de projection : Conique conforme de Lambert centrée sur 140° Est et l'équateur.
La première carte a des parallèles standard à 30° et 60° sud et la seconde a des parallèles standard à 30° et 60° nord.

La conique conforme de Lambert est la projection préférée pour les cartes régionales des latitudes moyennes. En Australie, l'agence cartographique nationale préfère utiliser cette projection en utilisant 18° et 36° Sud comme deux parallèles standard. Informations de projection : Conique conforme de Lambert centré sur 140° Est et 25° Sud, et deux Parallèles Standard 18° et 36° Sud.

Projection Cylindrique – Mercator

Remarquez les énormes distorsions dans les régions arctiques et antarctiques, mais la représentation raisonnable des masses continentales jusqu'à environ 50° au nord et au sud. Informations de projection : Mercator centré sur 140° Est et le Parallèle Standard est l'équateur

L'une des projections cartographiques les plus célèbres est le Mercator, créé par un cartographe et géographe flamand, Geradus Mercator en 1569.

Il est devenu la projection cartographique standard à des fins nautiques en raison de sa capacité à représenter des lignes de direction vraie constante. (La vraie direction constante signifie que la ligne droite reliant deux points quelconques sur la carte est la même direction qu'une boussole indiquerait.) À une époque de voiliers et de navigation basée uniquement sur la direction, c'était une caractéristique d'une importance vitale de cette projection.

La projection de Mercator a toujours l'équateur comme parallèle standard. Sa construction est telle que les lignes de longitude et de latitude sont perpendiculaires les unes aux autres – cela signifie qu'une carte du monde est toujours un rectangle.

De plus, les lignes de longitude sont régulièrement espacées. Mais la distance entre les lignes de latitude augmente en s'éloignant de l'équateur. Cette relation est ce qui permet à la direction entre deux points quelconques sur la carte d'être une vraie direction constante.

Bien que cette relation entre les lignes de latitude et de longitude maintienne correctement la direction, elle permet une distorsion des zones, des formes et des distances. Au plus près de l'équateur, il y a peu de distorsion. Les distances le long de l'équateur sont toujours correctes, mais nulle part ailleurs sur la carte. Entre environ 15° nord et sud, les zones et les formes sont bien conservées. Plus loin (à environ 50° au nord et au sud), les zones et les formes sont raisonnablement bien conservées. C'est pourquoi, pour des usages autres que la navigation maritime, la projection de Mercator est recommandée pour une utilisation dans la région équatoriale uniquement.

Malgré ces distorsions, la projection de Mercator est généralement considérée comme une projection conforme. C'est parce que dans les petites zones, les formes sont essentiellement vraies.

Voir également Mercator transverse et Mercator transverse universel ci-dessous.

Projection cylindrique – Robinson

Dans les années 1960, Arthur H. Robinson, un professeur de géographie du Wisconsin, a développé une projection qui est devenue beaucoup plus populaire que la projection de Mercator pour les cartes du monde. Il a été développé parce que les cartographes modernes étaient devenus insatisfaits des distorsions inhérentes à la projection de Mercator et qu'ils voulaient une projection du monde qui "ressemblait" davantage à la réalité.

En son temps, la projection de Robinson a remplacé la projection de Mercator comme projection préférée pour les cartes du monde. Les principales maisons d'édition qui ont utilisé la projection Robinson sont Rand McNally et National Geographic.

Comparez cela à la carte de projection Mercator ci-dessus. Informations de projection : Robinson centré sur 140° Est et le Parallèle Standard est l'Équateur.

Comme il s'agit d'une projection pseudo-cylindrique, l'équateur est son parallèle standard et il a toujours des problèmes de distorsion similaires à la projection de Mercator.

Entre 0° et 15° environ, les zones et les formes sont bien conservées. Cependant, la plage de distorsion acceptable a été étendue d'environ 15° nord et sud à environ 45° nord-sud. De plus, il y a moins de distorsion dans les régions polaires.

Contrairement à la projection de Mercator, la projection de Robinson a des lignes d'altitude et de longitude régulièrement espacées sur la carte. L'autre différence significative par rapport au Mercator est que seule la ligne de longitude au centre de la carte est droite (Méridien central), toutes les autres sont courbes, la quantité de courbe augmentant en s'éloignant du méridien central.

En optant pour une apparence plus agréable, la projection de Robinson a "troqué" les distorsions - cette projection n'est ni conforme, ni de surface égale, ni de direction équidistante ni vraie.

Projection Cylindrique – Mercator Transversale

Johann Heinrich Lambert était un mathématicien et scientifique allemand ⁄ français. Ses mathématiques étaient considérées comme révolutionnaires pour l'époque et sont toujours considérées comme importantes aujourd'hui. En 1772, il a publié à la fois sa projection Conformal Conic et la projection Transverse Mercator.

La projection transverse de Mercator est basée sur la très réussie projection de Mercator. La principale force de la projection de Mercator est qu'elle est très précise près de l'équateur (le "point de contact" de notre morceau de papier imaginaire - autrement appelé le parallèle standard) et le principal problème avec la projection est que les distorsions augmentent en s'éloignant de l'équateur. . Cet ensemble de vertus et de vices signifiait que la projection de Mercator est très appropriée pour cartographier des endroits qui ont une orientation est-ouest près de l'équateur mais ne convient pas pour cartographier des endroits qui ont une orientation nord-sud (par exemple l'Amérique du Sud ou le Chili).

Le coup de génie de Lambert fut de changer la façon dont le morceau de papier imaginaire touchait la Terre… au lieu de toucher l'équateur, il le fit toucher une ligne de longitude (n'importe quelle ligne de longitude). Ce point de contact est appelé le méridien central d'une carte. Cela signifiait que des cartes précises des lieux avec des lieux orientés nord-sud pouvaient désormais être produites. Le cartographe n'avait qu'à sélectionner un méridien central qui passait au milieu de la carte.

Un cas particulier – le système universel transverse de Mercator (UTM)

Il a fallu encore 200 ans pour que le prochain développement ait lieu pour la projection de Mercator.

Encore une fois, comme le changement révolutionnaire de Lambert dans la façon dont la projection de Mercator a été calculée, ce développement a été un changement dans la façon dont la projection de Mercator transversale a été utilisée. En 1947, l'Organisation du Traité de l'Atlantique Nord (OTAN) a développé le système de coordonnées Universal Transverse Mercator (généralement simplement appelé UTM).

L'OTAN a reconnu que la projection Mercator/Mercator transverse était très précise le long de son méridien parallèle standard/central. En effet, jusqu'à 5° du parallèle standard ⁄ méridien central, il y avait une distorsion minimale.

Comme les cartes aéronautiques mondiales, le système UTM a pu s'appuyer sur les réalisations de la carte internationale du monde. En plus de développer une spécification internationale convenue, l'IMW avait développé un système de grille régulier qui couvrait toute la surface de la Terre. Pour les latitudes basses à moyennes (0° à 60° Nord et Sud), l'IMW a établi un système de quadrillage large de 6° de longitude et haut de 4° de latitude.

À l'aide de cela, l'OTAN a conçu un système régulier similaire pour la Terre, dans lequel elle a été divisée en une série de 6° de zones longitudinales larges. Il y a un total de 60 zones longitudinales et celles-ci sont numérotées de 1 à 60 - à l'est de la longitude 180° . Ceux-ci s'étendent du pôle Nord au pôle Sud. Un méridien central est placé au milieu de chaque zone longitudinale. En conséquence, dans une zone, rien n'est à plus de 3° du méridien central et donc les emplacements, les formes, les tailles et les directions entre toutes les entités sont très précis.

C'est pourquoi l'UTM est considéré comme un cas particulier.

Le défaut du système UTM est qu'entre ces zones de longitude, les directions ne sont pas vraies - ce problème est surmonté en s'assurant que les cartes utilisant le système UTM ne couvrent pas plus d'une zone.

Dans le monde entier, y compris en Australie, ce système UTM est utilisé par les agences de cartographie pour les cartes topographiques locales et nationales.

Zones UTM

Comparez cela à la carte de projection Mercator ci-dessus. Informations de projection : Robinson centré sur 140° Est et le Parallèle Standard est l'Équateur.

Comme nous l'avons déjà noté, le système UTM comprend une série de zones longitudinales de 6° de large et numérotées de 1 à 60 - à l'est de 180° de longitude.

Cependant, contrairement à la carte internationale du monde (IMW), le système UTM a choisi d'utiliser des zones latitudinales deux fois plus larges, c'est-à-dire 8° de latitude. Il y en a 20 et ils sont numérotés de A à Z (avec O et I non utilisés) - au nord de l'Antarctique. Comme le système IMW, chaque caractéristique de la Terre peut désormais être décrite en fonction de la grille UTM dans laquelle elle se trouve. Un élément déroutant est que ces cellules de grille sont appelées de manière variable une zone UTM.

Par exemple, dans le cas de Sydney, en Australie, sa cellule de grille UTM (zone) serait identifiée comme suit :

  • H – pour la zone latitudinale à laquelle il appartient
  • 56 – pour la zone longitudinale à laquelle il appartient

Additionnez les deux - la zone de grille UTM (cellule de grille) qui contient Sydney est 56H

Grille cartographique UTM et grille cartographique australienne

Comme cela est expliqué dans la section intitulée Explication du jargon – graticules et grilles, il existe une différence significative entre les deux.

  • Les graticules sont des lignes de longitude et de latitude. Ceux-ci ne forment jamais une forme carrée ou rectangulaire et leur forme change radicalement de l'équateur au pôle - d'être proche de la forme carrée à la forme proche de la forme triangulaire.
  • Les grilles sont une superposition de forme régulière sur une carte. Ils sont généralement carrés, mais ils peuvent être rectangulaires.

Les grilles sont rarement parallèles aux lignes de longitude et de latitude.

Outre la facilité d'utilisation, une grille présente un autre avantage : sur une carte donnée, elle couvre toujours la même quantité de la surface de la Terre. Ce n'est pas vrai d'un système de graticule ! Un bloc de 1° x1° de latitude et de longitude près de l'équateur couvrira toujours une plus grande partie de la surface de la Terre et un bloc de 1° x1° plus près d'un pôle. Par conséquent, il est facile de mesurer les distances à l'aide d'une grille – cela supprime les défauts de distorsion inhérents à chaque projection cartographique.

Lorsque l'OTAN a créé le système UTM, elle a reconnu ce fait et y a intégré un système de grille. Cela implique un système de lettres régulier et complexe pour identifier les cellules de la grille. Pour identifier des entités ou des emplacements individuels, les distances sont d'abord mesurées de l'ouest à l'entité, puis du sud à l'entité. Les trois sont combinés pour donner un emplacement précis - basé sur la grille de la carte.

  • La grille cartographique australienne (AMG) est la grille cartographique qui a été développée dans le cadre du système UTM pour répondre au mieux aux besoins australiens.
  • Nordings - ce sont les lignes parallèles horizontales de la grille - c'est-à-dire que ce sont des séries de lignes qui vont de l'ouest à l'est (semblables aux lignes de latitude - mais pas les mêmes). Leurs valeurs augmentent vers le nord.
  • Abscisse - ce sont les lignes parallèles verticales de la grille - c'est-à-dire que ce sont des séries de lignes qui vont du nord au sud (semblables aux lignes de longitude - mais pas les mêmes). Leurs valeurs augmentent vers l'est.

Un Cas Spécial – Géographique (ou Assiette Carrée)

Il s'agit d'une projection mathématiquement simple. C'est aussi une projection ancienne (peut-être développée par Marinus de Tyr en 100).

En raison de sa simplicité, il était couramment utilisé dans le passé (avant que les ordinateurs ne permettent des calculs très complexes) et il a été adopté comme projection de choix pour une utilisation dans les applications de cartographie informatique - notamment les systèmes d'information géographique (SIG) et sur les pages Web. De plus, encore une fois en raison de sa simplicité, il peut également être utilisé avec des cartes mondiales et régionales.

Plate Carrée est le terme français pour carré plat. Dans les opérations SIG, cette projection est communément appelée géographique.

Il s'agit d'une projection cylindrique, avec l'équateur comme parallèle standard. La différence avec cette projection est que les lignes de latitude et de longitude se croisent pour former des carrés. A titre de comparaison, dans les projections de Mercator et Robinson, ils forment des tailles irrégulières rectangles.

Bien que nous ayons décrit la Géographie ou la Plate Carrée comme une projection, il existe un débat quant à savoir si elle doit être considérée comme une projection. En effet, il n'essaie pas de compenser les distorsions dues au transfert d'informations de la surface de la Terre sur un « morceau de papier plat » (notre carte).

C'est pourquoi nous décrivons la projection géographique comme un cas particulier.

Reportez-vous à la section Projections pour plus d'informations sur les distorsions générées par les projections.


ArcGIS WGS84 Web Mercator vs. WGS84 UTM zone 15N : Dimensions de distance très différentes

Salut à tous, je travaille dans ArgGIS avec un champ (couche raster au format tif) dans lequel j'ai placé deux points (couche .shp).

J'ai deux versions des deux couches, ce qui donne quatre couches : une tif+shp définie dans CRS WGS84 Web Mercator et l'autre tif+shp définie dans CRS WGS84 UTM zone 15N .

Si j'établis le CRS du Data Frame vers WGS84 Web Mercator, la distance entre les deux points est de 138 mètres, mais si j'établis le CRS du Data Frame vers WGS84 UTM zone 15N la distance est de 99 mètres, ce qui est une énorme différence . Cependant, les couches de points sont affichées absolument l'une au-dessus de l'autre, je veux dire : les deux points d'un SCR n'ont aucun déplacement par rapport aux deux autres points et de même pour les rasters.

    Pourquoi ne vois-je pas les deux paires de points mal placées ? S'agit-il d'une projection « à la volée » d'ArcGIS ? Si c'est le cas, cela signifie-t-il qu'ArcGIS projette « à la volée » même entre des données avec des CRS de système de coordonnées géographiques différent ? (en ce qui me concerne, ArcGIS ne projette "à la volée" qu'entre des données avec des CRS avec le même système de coordonnées géographiques mais une projection différente). REMARQUE : Les deux CRS projetés (WGS84 Web Mercator & WGS84 UTM zone 15N) correspondent à ces deux systèmes de coordonnées géographiques différents : dans ArcGIS, Système de coordonnées géographiques > Basé sur des sphéroïdes > WGS 1984 Sphère auxiliaire majeure & Système de coordonnées géographiques > Monde > WGS 1984, respectivement.

Un autre doute majeur est de savoir lequel des deux CRS est alors le meilleur pour travailler dans le sud de l'État du Minnesota (États-Unis).

Merci pour toute aide ou idée donnée.

Charly, je vis parfois la même chose. Ce que je pense, c'est que lors de l'utilisation de la projection Web Mercator, elle est vraiment déformée plus près des pôles (nord et sud), et elle projette également la planète entière. Avec la zone UTM, les choses seront très précises ou supposées être précises pour cette zone particulière, dans votre cas la zone UTM 15N. Je pense que cela projette une zone particulière par rapport à la planète entière. J'utiliserais donc UTM Zone pour une mesure plus précise.

J'ai également remarqué que dans ArcMap, non seulement la distance est désactivée, mais également la zone (mile carré, acres, etc.). C'est différent lors de la mesure de la zone à l'aide de WGS84 Web Mercator par rapport à la zone UTM ou StatePlane. Je suppose qu'ArcMap ne lit pas bien les sphères géodésiques?

Comme toute projection, Web Mercator a des limites inhérentes. Tout d'abord, vous remarquerez qu'aucune donnée n'est mise en cache au pôle Nord ou au pôle Sud. Il s'agit d'une limitation de toutes les projections de Mercator. De plus, les mesures de zone et de distance ne seront pas correctes car plus vous prenez la mesure vers le nord, plus il y a de distorsion.

Un exemple est dans l'image ci-dessous, une indicatrice de Tissot, montrant la distorsion dans la zone projetée.

par Melita Kennedy

Pour développer la réponse d'Arnold, Web Mercator est conçu pour afficher et faciliter la création/stockage/récupération de tuiles d'images mises en cache. Il n'est pas conçu pour calculer des distances ou des surfaces (si vous obtenez des réponses correctes, alors le logiciel calcule dans autre chose !).

Le fait que les points soient tous superposés est dû aux capacités de projet à la volée d'ArcMap. Quel que soit le système de coordonnées (CS) utilisé par le bloc de données (carte), toutes les couches d'un système de coordonnées différent sont converties dans le CS du bloc de données. (1)

Vous avez un cas étrange, dans ce que WGS 1984 Major Auxiliary Sphere n'est pas un "vrai" GCS géodésique (datum). Les coordonnées sont les mêmes que dans WGS 1984, mais sont traitées comme si elles se trouvaient sur une sphère de rayon 6378137,0 m. S'il y avait deux ou plusieurs références géodésiques impliquées, vous devrez sélectionner des transformations. Cependant, ArcMap projettera toujours à la volée même si vous ne définissez aucune transformation. Fondamentalement, il saute simplement l'étape de transformation.

Remarquez comment les lignes de longitude sont parallèles dans Web Mercator. À titre indicatif, cela signifie que la vraie distance est-ouest est d'environ cos (latitude) de ce qui est rapporté. Cela correspond bien à ce que vous voyez : 99/138 = 0,717, cos(44) = 0,719.

Vous feriez bien mieux d'utiliser la zone UTM, ou éventuellement de passer à la zone SPCS (bien que ce ne soit pas sur WGS84).

(1) Si vous voulez voir à quoi ressemblent les données avec le projet à la volée désactivé, cliquez sur le globe dans l'onglet Systèmes de coordonnées des propriétés du bloc de données et sélectionnez l'option Effacer.


Créer un fond de carte personnalisé dans ArcGIS Pro

Votre prochain client est une entreprise de services publics. Ils ont demandé une série de cartes interactives qu'ils peuvent utiliser pour gérer les projets à venir, et ils exigent que toutes les cartes utilisent le système de coordonnées MAGNA. Cela garantira que les cartes que vous créez sont parfaitement cohérentes avec toutes les autres cartes ou données géographiques qu'ils utilisent. La cartographie des services publics est effectuée à grande échelle (zoom avant), donc le mélange des systèmes de coordonnées peut entraîner des inexactitudes de localisation réelle pour votre client.


Que signifie l'avis NGA « Web Mercator » pour les utilisateurs d'Esri Defence and Intelligence ?

La National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) a publié un avis sur l'utilisation du système de coordonnées Web Mercator dans les applications militaires et de renseignement. Dans l'avis, NGA met en garde contre les problèmes de précision de position avec Web Mercator, en particulier à des latitudes plus élevées, et "... rappelle à la communauté d'utiliser les applications World Geodetic System 1984 (WGS 84) approuvées par le DoD pour toutes les activités critiques".

Web Mercator, appelé « WGS 1984 Web Mercator (sphère auxiliaire) » dans ArcGIS, et également connu sous le nom de « EPSG : 3857 » (European Petroleum Survey Group) et « WGS 84/Popular Visualization Pseudo-Mercator », a été popularisé par Google et a devenir le système de coordonnées le plus couramment utilisé pour les applications de cartographie Web. Il est actuellement utilisé par Google Maps, Bing Maps et les fonds de carte Esri ArcGIS Online, entre autres.

Les problèmes de précision contre lesquels la NGA met en garde sont dus à la représentation simplifiée de la Terre sous forme de sphère par le système de coordonnées Web Mercator. Étant donné que la Terre est en fait aplatie vers les pôles (ellipsoïdale), la précision de position des latitudes dans Web Mercator diminue avec la distance par rapport à l'équateur, par rapport à une projection ellipsoïdale. Dans ArcGIS, cela ne posera probablement pas de problèmes, à moins que les données de Web Mercator aient leur système de coordonnées décrit par inadvertance comme étant dans une version ellipsoïdale de Mercator telle que « World Mercator » (EPSG : 3395), ou vice versa. Un autre problème qui est plus susceptible de s'appliquer dans ArcGIS est que Web Mercator souffre de l'inconvénient partagé par d'autres projections Mercator de distorsion d'échelle près des pôles.

Heureusement, ArcGIS prend en charge et peut projeter des données entre de nombreux systèmes de coordonnées différents, y compris Web Mercator et les véritables systèmes de coordonnées WGS84 tels que Geographic WGS84 et UTM WGS84. Les applications créées avec ArcGIS qui utilisent le système de coordonnées Web Mercator peuvent projeter des géométries d'entités vers un système de coordonnées plus approprié pour mesurer des zones, des distances ou des emplacements de coordonnées. Les couches opérationnelles utilisées avec les fonds de carte Web Mercator peuvent être stockées dans d'autres systèmes de coordonnées et projetées à la volée pour correspondre. ArcGIS for Desktop projettera plusieurs couches de données avec différents systèmes de coordonnées à la volée pour les aligner sur le système de coordonnées du bloc de données de la carte. Bien qu'il soit possible de modifier des données qui se trouvent dans un système de coordonnées différent du bloc de données, lorsque des niveaux élevés de précision sont critiques, il est préférable de projeter les données dans un système de coordonnées commun avant de procéder à la modification.

Bien que Web Mercator soit utilisé dans les fonds de carte civils ArcGIS Online, les organisations militaires et de renseignement peuvent utiliser ArcGIS for Server pour publier des services de carte et des fonds de carte sur leurs propres réseaux sécurisés à l'aide de n'importe quel système de coordonnées WGS84. Pour plus d'informations sur la création de fonds de carte à usage militaire et de renseignement, consultez les pages Solutions. Le système de coordonnées du fond de carte de publication et la structure de tuile du service de carte mis en cache peuvent être définis sur le système de coordonnées géographique WGS84 ou UTM WGS84, et les fonds de carte résultants seront dans ce système de coordonnées, plutôt que dans Web Mercator.

Les administrateurs peuvent configurer Portal for ArcGIS ou ArcGIS Online for Organizations pour utiliser ces fonds de carte publiés en interne au lieu des fonds de carte ArcGIS Online Web Mercator par défaut. Alternativement, ces organisations peuvent utiliser l'appliance géospatiale (CGA) Commercial Joint Mapping Toolkit (CJMTK) pour les fonds de carte. Les fonds de carte dans le CGA sont stockés à l'aide du système de coordonnées géographiques WGS84. Les cartes existantes peuvent être configurées pour utiliser un nouveau fond de carte et leurs blocs de données configurés pour utiliser un nouveau système de coordonnées. Les applications Web et les applications mobiles (telles que Squad Leader et Vehicle Commander) peuvent être configurées en modifiant le fichier mapconfig.xml pour utiliser ces fonds de carte et packages de tuiles alternatifs dans les systèmes de coordonnées WGS84.

Si vous avez des modèles existants que vous souhaitez utiliser dans un système de coordonnées approuvé par la NGA, vous pouvez substituer un nouveau fond de carte, modifier le système de coordonnées du bloc de données et projeter les classes d'entités dans un nouveau système de coordonnées ou utiliser le vôtre (déjà projeté) classes d'entités.

Pour projeter des données dans ArcGIS for Desktop, utilisez l'outil de géotraitement Projeter (Gestion des données) pour projeter des classes d'entités et l'outil de géotraitement Projeter un raster (Gestion des données) pour projeter des rasters. Si vous devez projeter plusieurs classes d'entités, vous pouvez utiliser l'outil de géotraitement Projet par lots (Gestion des données). N'utilisez pas l'outil Définir la projection (gestion des données) à cette fin, cet outil modifie uniquement la description du système de coordonnées d'une classe d'entités, il ne projette pas réellement les données. Consultez cet article de blog sur les services d'assistance Esri pour plus d'informations sur l'utilisation de Define Projection.

À l'avenir, Esri ArcGIS for the Military et ArcGIS for Intelligence Solutions utiliseront les systèmes de coordonnées géographiques WGS84 ou UTM WGS84 dans les cartes et les modèles pour se conformer aux directives NGA. Beaucoup de nos modèles précédemment publiés utilisent Web Mercator, mais ceux-ci seront projetés sur des systèmes basés sur WGS84 au fur et à mesure que les futures versions seront publiées.

Ce référentiel GitHub contient une boîte à outils et deux outils Python que vous pouvez utiliser pour rechercher dans un répertoire des classes d'entités ou des cartes qui utilisent le système de coordonnées Web Mercator.


La réponse à votre question sur l'analyse et la projection en ligne

L'une des questions les plus fréquentes que je reçois en ce qui concerne l'analyse spatiale d'ArcGIS Online est : "Quelle projection est utilisée dans les calculs d'analyse ?". C'est une question légitime à poser ! Dans ArcGIS Online, comme dans la plupart des plates-formes cartographiques en ligne, Web Mercator est le système de coordonnées par défaut. Comme beaucoup d'entre vous le savent, Web Mercator n'est pas conçu pour minimiser les distorsions lors des calculs de distance et de surface. Pour répondre à cette préoccupation, c'est ma motivation pour écrire cet article de blog.

La bonne nouvelle est que vous n'avez pas besoin d'effectuer une analyse spatiale dans le même système de coordonnées utilisé par la carte Web. ArcGIS Online gère la projection pour vous lors de l'analyse en coulisses. Détaillons plus à ce sujet.

Le comportement par défaut

Dans ArcGIS Online Map Viewer, toutes les couches d'une carte Web héritent du système de coordonnées du fond de carte. Web Mercator est le système de coordonnées des fonds de carte par défaut. Cependant, cela ne signifie pas que les données utilisées pour l'analyse doivent avoir la même projection que le fond de carte. Grâce à l'algorithme ArcGIS « Projection à la volée », lorsqu'un service d'entités avec un système de coordonnées et une projection différents est ajouté, il est re-projeté à la volée sur la carte Web. Il est important de souligner que la « Projection à la volée » ne modifie pas la projection des données d'origine. Il affiche simplement les caractéristiques dans le système de coordonnées de la carte Web à des fins de visualisation.

Lorsque vous exécutez les outils d'analyse spatiale dans ArcGIS Online, le système de coordonnées d'origine de la couche d'entités en entrée est utilisé pour les calculs. Notez que l'entrée des outils d'analyse dans ArcGIS Online peut également être des collections d'entités. Des éléments tels que des fichiers CSV et des notes de carte peuvent être ajoutés à une carte Web en tant que collections d'entités. Les collections d'entités publiées ont le même système de coordonnées que le fond de carte. Lorsque les entités en entrée ne sont pas projetées (c'est-à-dire lorsque les coordonnées sont données en latitudes et longitudes), les distances dans des outils tels que « Rechercher des points chauds » sont calculées à l'aide de mesures de cordes. Dans une petite zone (par exemple, une région de 700 km de large), les distances de corde fournissent une bonne approximation (à moins de 0,05 %) des distances géodésiques relatives entre les entités et permettent un calcul plus rapide dans les applications d'outils.

Dans ArcGIS Online, les couches de résultats de sortie d'analyse sont stockées avec la même projection que l'entrée. Certains outils d'analyse en ligne tels que la fusion, la superposition et la recherche d'emplacements nécessitent plusieurs couches d'entrée. Dans ces cas, la couche de résultat en sortie utilisera la même projection que la couche cible en entrée ou la première couche en entrée. La seule exception est l'outil « Agréger les points ». Étant donné que la couche en sortie de « Points d'agrégation » est une couche de polygones, la projection de la couche en sortie sera la même que la couche de polygones en entrée lorsqu'il y en a une fournie.

Remplacement de la projection par défaut

Il est possible de remplacer le comportement par défaut des systèmes de coordonnées de la couche de résultats lors de l'appel des services d'analyse spatiale d'ArcGIS Online via l'API REST. Avec l'API REST, vous pouvez spécifier un système de référence spatiale de sortie.

Utilisation de fonds de carte projetés

Il peut arriver que vous souhaitiez utiliser un fond de carte dans une projection locale ou un système de coordonnées plus adapté à vos données au lieu du Web Mercator par défaut. Cela peut être accompli avec quelques étapes supplémentaires dans ArcGIS Pro. Vous pouvez créer votre propre fond de carte avec les données et le système de coordonnées de votre choix et le publier sur ArcGIS Online. Un administrateur peut configurer la galerie de fonds de carte personnalisée pour votre organisation afin de permettre à tous les membres de l'organisation d'utiliser des fonds de carte avec des systèmes de coordonnées autres que Web Mercator (en savoir plus sur la création de fonds de carte projetés)

Le tampon géodésique

Buffer est un workflow d'analyse couramment utilisé dans ArcGIS Online pour générer une zone autour des entités en entrée à une distance donnée. Lors de l'exécution d'une opération de mise en mémoire tampon avec un jeu de données dont les caractéristiques couvrent une grande région ou lors de l'utilisation d'une très grande distance de mise en mémoire tampon, il est important de se rappeler que la distorsion de la projection peut avoir un effet grave sur les résultats. L'outil "Créer des tampons" d'ArcGIS Online crée un tampon géodésique par défaut. L'avantage est que cela produira toujours des résultats géographiquement précis car les tampons géodésiques ne sont pas affectés par les distorsions introduites par un système de coordonnées projetées.

Les bacs de taille égale

Des outils tels que « Générer des tessellations » et « Agréger des points » ou « Résumer à l'intérieur » avec des options de regroupement personnalisées impliquent une opération pour créer des groupes de zone de taille égale dans la carte Web. Pour s'assurer que les zones des bacs sont de taille égale et adaptées à l'étendue de l'analyse, ces outils d'analyse choisissent une projection de zone égale appropriée en arrière-plan. Dans l'étape suivante, les bacs générés sont projetés vers la référence spatiale d'entrée d'origine. Enfin, lorsque la couche de résultats avec les bacs de surface égale est ajoutée à la carte Web, elle est projetée à la volée vers Web Mercator pour affichage (valeur par défaut) ou vers la projection de votre fond de carte personnalisé.

Une projection Web Mercator peut entraîner une déformation des formes des compartiments, en particulier pour les compartiments volumineux ou proches des régions polaires. Cependant, ces distorsions ne font partie que de l'affichage et ne reflètent pas une analyse inexacte. Ceci est un exemple lorsque le fond de carte Web Mercator n'est tout simplement pas le meilleur pour la visualisation. Vous pouvez envisager un fond de carte dans une projection de surface égale à la place.

En résumé, bien que la carte Web par défaut d'ArcGIS Online utilise le système de coordonnées Web Mercator, les outils d'analyse spatiale d'ArcGIS Online prennent en charge les mesures dans les projections locales et la distance géodésique. Avec quelques étapes supplémentaires, vous pouvez même créer vos propres cartes Web non Mercator.


Contenu

Il y a une certaine controverse sur les origines du Mercator. Le polymathe allemand Erhard Etzlaub a gravé des "cartes de boussole" miniatures (environ 10 × 8 cm) de l'Europe et de certaines régions d'Afrique qui s'étendaient sur des latitudes de 0° à 67° pour permettre l'ajustement de ses cadrans solaires portables de poche. La projection trouvée sur ces cartes, datant de 1511, a été déclarée par Snyder [1] en 1987 comme étant la même projection que celle de Mercator. Cependant, étant donné la géométrie d'un cadran solaire, ces cartes pourraient bien avoir été basées sur la projection cylindrique centrale similaire, un cas limite de la projection gnomonique, qui est la base d'un cadran solaire. Snyder modifie son évaluation à « une projection similaire » en 1994. [2]

Joseph Needham, un historien de la Chine, a écrit que les Chinois ont développé la projection de Mercator des centaines d'années avant Mercator, en l'utilisant dans les cartes des étoiles pendant la dynastie Song. [3] Cependant, il s'agissait d'un cas d'identification erronée simple et courant. La projection utilisée était la projection équirectangulaire.

Le mathématicien et cosmographe portugais Pedro Nunes a d'abord décrit le principe mathématique du loxodrome et son utilisation dans la navigation maritime. En 1537, il a proposé de construire un atlas nautique composé de plusieurs feuilles à grande échelle dans la projection cylindrique équidistante afin de minimiser la distorsion des directions. Si ces feuilles étaient ramenées à la même échelle et assemblées, elles se rapprocheraient de la projection de Mercator.

En 1569, Gerhard Kremer, connu sous son nom commercial Gerardus Mercator, a annoncé une nouvelle projection en publiant une grande carte planisphérique mesurant 202 par 124 cm (80 par 49 in) et imprimée en dix-huit feuilles séparées. Mercator a intitulé la carte Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "Une nouvelle description augmentée de la Terre corrigée à l'usage des marins".Ce titre, ainsi qu'une explication détaillée de l'utilisation de la projection qui apparaît comme une section de texte sur la carte, montre que Mercator a compris exactement ce qu'il avait réalisé et qu'il avait l'intention de faire de la projection une aide à la navigation. Mercator n'a jamais expliqué la méthode de construction ni comment il y est arrivé. Diverses hypothèses ont été avancées au fil des ans, mais dans tous les cas, l'amitié de Mercator avec Pedro Nunes et son accès aux tables loxodromiques créées par Nunes ont probablement aidé ses efforts.

Le mathématicien anglais Edward Wright a publié les premières tables précises pour construire la projection en 1599 et, plus en détail, en 1610, appelant son traité "Certaines erreurs de navigation". La première formulation mathématique a été publiée vers 1645 par un mathématicien nommé Henry Bond (vers 1600-1678). Cependant, les mathématiques impliquées ont été développées mais jamais publiées par le mathématicien Thomas Harriot à partir de 1589 environ. [4]

Le développement de la projection de Mercator a représenté une percée majeure dans la cartographie marine du XVIe siècle. Cependant, il était très en avance sur son temps, car les anciennes techniques de navigation et d'arpentage n'étaient pas compatibles avec son utilisation en navigation. Deux problèmes principaux empêchaient son application immédiate : l'impossibilité de déterminer la longitude en mer avec une précision suffisante et le fait que des directions magnétiques, au lieu de directions géographiques, étaient utilisées dans la navigation. Ce n'est qu'au milieu du XVIIIe siècle, après l'invention du chronomètre de marine et la connaissance de la distribution spatiale de la déclinaison magnétique, que la projection de Mercator a pu être pleinement adoptée par les navigateurs.

Malgré ces limitations de localisation, la projection de Mercator peut être trouvée dans de nombreuses cartes du monde au cours des siècles suivant la première publication de Mercator. Cependant, il n'a commencé à dominer les cartes du monde qu'au XIXe siècle, lorsque le problème de la détermination de la position avait été en grande partie résolu. Une fois que le Mercator est devenu la projection habituelle des cartes commerciales et éducatives, il a fait l'objet de critiques persistantes de la part des cartographes pour sa représentation déséquilibrée des masses continentales et son incapacité à montrer utilement les régions polaires.

Les critiques formulées contre l'utilisation inappropriée de la projection de Mercator ont entraîné une vague de nouvelles inventions à la fin du XIXe et au début du XXe siècle, souvent directement présentées comme des alternatives au Mercator. En raison de ces pressions, les éditeurs ont progressivement réduit leur utilisation de la projection au cours du 20e siècle. Cependant, l'avènement de la cartographie Web a donné à la projection une résurgence brutale sous la forme de la projection Web Mercator.

Aujourd'hui, le Mercator peut être trouvé dans les cartes marines, les cartes du monde occasionnelles et les services de cartographie Web, mais les atlas commerciaux l'ont largement abandonné, et les cartes murales du monde peuvent être trouvées dans de nombreuses projections alternatives. Google Maps, qui s'en sert depuis 2005, l'utilise toujours pour les cartes locales, mais a abandonné la projection des plates-formes de bureau en 2017 pour les cartes dézoomées des zones locales. De nombreux autres services de cartographie en ligne utilisent encore exclusivement Web Mercator.

Comme dans toutes les projections cylindriques, les parallèles et les méridiens du Mercator sont droits et perpendiculaires les uns aux autres. Pour ce faire, l'étirement est-ouest inévitable de la carte, qui augmente à mesure que l'on s'éloigne de l'équateur, s'accompagne dans la projection de Mercator d'un étirement nord-sud correspondant, de sorte qu'à chaque emplacement de point l'échelle est-ouest est la même que l'échelle nord-sud, ce qui en fait une projection cartographique conforme. Les projections conformes préservent les angles autour de tous les emplacements.

Parce que l'échelle linéaire d'une carte Mercator augmente avec la latitude, elle déforme la taille des objets géographiques éloignés de l'équateur et transmet une perception déformée de la géométrie globale de la planète. Aux latitudes supérieures à 70° nord ou sud, la projection de Mercator est pratiquement inutilisable, car l'échelle linéaire devient infiniment grande aux pôles. Une carte de Mercator ne peut donc jamais montrer complètement les zones polaires (tant que la projection est basée sur un cylindre centré sur l'axe de rotation de la Terre voir la projection transversale de Mercator pour une autre application).

La projection de Mercator mappe toutes les lignes à relèvement constant (rhumbs (mathématiquement appelés loxodromes—ceux faisant des angles constants avec les méridiens) en lignes droites. Les deux propriétés, la conformité et les loxodromies droites, rendent cette projection parfaitement adaptée à la navigation les relèvements sont mesurés à l'aide de roses des vents ou de rapporteurs, et les directions correspondantes sont facilement reportées d'un point à l'autre, sur la carte, à l'aide d'une règle parallèle (par exemple).

Comme sur toutes les projections cartographiques, les formes ou les tailles sont des distorsions de la véritable disposition de la surface de la Terre.

La projection de Mercator exagère les zones éloignées de l'équateur.

Exemples de distorsion de taille Modifier

    semble être extrêmement grand. Si le globe entier était cartographié, l'Antarctique se gonflerait à l'infini. En réalité, c'est le deuxième plus petit continent, juste plus petit que la Russie.
    au nord de l'archipel arctique canadien a à peu près la même taille que l'Australie, bien que l'Australie soit plus de 39 fois plus grande. Toutes les îles de l'archipel arctique du Canada semblent au moins 4 fois trop grandes, et les îles les plus au nord semblent encore plus grandes.
    apparaît de la même taille que l'Afrique, alors qu'en réalité la superficie de l'Afrique est 14 fois plus grande.
    • La superficie réelle du Groenland est comparable à celle de la seule République démocratique du Congo.
    • L'Afrique semble avoir à peu près la même taille que l'Amérique du Sud, alors qu'en réalité l'Afrique est plus d'une fois et demie plus grande.
      semble être plus grand que Bornéo, alors qu'en réalité, Bornéo est environ 12 fois plus grand que le Svalbard.
      semble être de la même taille que l'Australie, bien que l'Australie soit en réalité 4 fois et demie plus grande.
        prend également autant de superficie sur la carte que le Brésil, alors que la superficie du Brésil est près de 5 fois celle de l'Alaska.
        et la Grande-Bretagne ont à peu près la même taille, tandis que Madagascar est en réalité plus de deux fois plus grande que la plus grande des îles britanniques.
          apparaît beaucoup plus grand que Madagascar. En réalité, ils sont de taille similaire.
          apparaît plus grand que l'ensemble de l'Afrique, ou l'Amérique du Nord (sans les îles de cette dernière). Il apparaît également comme deux fois la taille de la Chine et des États-Unis contigus réunis, alors qu'en réalité, la somme est de taille comparable.
          • L'inflation du nord déforme également fortement la forme de la Russie, la faisant apparaître beaucoup plus haute du nord au sud et étirant considérablement ses régions arctiques par rapport à ses latitudes moyennes.

          Critique Modifier

          En raison des grandes distorsions de la superficie des terres, certains [ qui? ] considèrent que la projection n'est pas adaptée aux cartes du monde générales. Par conséquent, Mercator lui-même a utilisé la projection sinusoïdale à aire égale pour montrer les aires relatives. Cependant, malgré de telles distorsions, la projection de Mercator était, en particulier à la fin du XIXe et au début du XXe siècle, peut-être la projection la plus couramment utilisée dans les cartes du monde, bien qu'elle ait été très critiquée pour cette utilisation. [5] [6] [7] [8]

          En raison de son utilisation très courante, la projection de Mercator a été supposée avoir influencé la vision du monde des gens [9] et parce qu'elle montre les pays proches de l'équateur comme trop petits par rapport à ceux d'Europe et d'Amérique du Nord, elle a été supposée pour amener les gens à considérer ces pays comme moins importants. [10] À la suite de ces critiques, les atlas modernes n'utilisent plus la projection de Mercator pour les cartes du monde ou pour les zones éloignées de l'équateur, préférant d'autres projections cylindriques, ou des formes de projection à aire égale. La projection de Mercator est encore couramment utilisée pour les zones proches de l'équateur, cependant, où la distorsion est minime. On le trouve aussi fréquemment dans les cartes des fuseaux horaires.

          Arno Peters a suscité la controverse à partir de 1972 lorsqu'il a proposé ce que l'on appelle maintenant généralement la projection Gall-Peters pour remédier aux problèmes du Mercator. La projection qu'il a promue est une paramétrisation spécifique de la projection cylindrique à aire égale. En réponse, une résolution de 1989 de sept groupes géographiques nord-américains a dénigré l'utilisation de projections cylindriques pour des cartes du monde à usage général, qui incluraient à la fois le Mercator et le Gall-Peters. [11]

          Pratiquement toutes les cartes marines imprimées sont basées sur la projection de Mercator en raison de ses propriétés exceptionnellement favorables à la navigation. Il est également couramment utilisé par les services de cartes routières hébergés sur Internet, en raison de ses propriétés particulièrement favorables pour les cartes locales calculées à la demande. [12] Les projections de Mercator étaient également importantes dans le développement mathématique de la tectonique des plaques dans les années 1960. [13]

          Navigation maritime Modifier

          La projection de Mercator a été conçue pour être utilisée dans la navigation maritime en raison de sa propriété unique de représenter n'importe quel cap à relèvement constant sous la forme d'un segment rectiligne. Un tel cap, connu sous le nom de rhumb (ou, mathématiquement, de loxodrome) est préféré en navigation maritime car les navires peuvent naviguer dans une direction constante, ce qui réduit les corrections de cap difficiles et sujettes aux erreurs qui seraient autrement nécessaires fréquemment lors de la navigation sur un autre cours. Pour des distances petites par rapport au rayon de la Terre, la différence entre le rhumb et le parcours techniquement le plus court, un segment de grand cercle, est négligeable, et même pour des distances plus longues, la simplicité du relèvement constant le rend attrayant. Comme l'a observé Mercator, sur un tel parcours, le navire n'arriverait pas par le chemin le plus court, mais il arrivera sûrement. Naviguer sur un rhumb signifiait que tout ce que les marins avaient à faire était de garder un cap constant tant qu'ils savaient où ils étaient quand ils ont commencé, où ils avaient l'intention d'être quand ils ont terminé, et avaient une carte en projection Mercator qui montrait correctement ces deux coordonnées.

          Web Mercator Modifier

          De nombreux principaux services de cartographie des rues en ligne (Bing Maps, Google Maps, MapQuest, OpenStreetMap, Yahoo! Maps et autres) utilisent une variante de la projection Mercator pour leurs images cartographiques [ citation requise ] appelé Web Mercator ou Google Web Mercator. Malgré sa variation d'échelle évidente à petite échelle, la projection est bien adaptée en tant que carte du monde interactive qui peut être zoomée de manière transparente sur des cartes (locales) à grande échelle, où il y a relativement peu de distorsion en raison de la quasi-conformité de la variante de projection.

          Les systèmes de carrelage des principaux services de cartographie des rues en ligne affichent la majeure partie du monde au niveau de zoom le plus bas sous la forme d'une seule image carrée, à l'exclusion des régions polaires par troncature à des latitudes de φmax = ±85,05113°. (Voir ci-dessous.) Les valeurs de latitude en dehors de cette plage sont mappées à l'aide d'une relation différente qui ne diverge pas à φ = ±90°. [ citation requise ]

          Modèle sphérique Modifier

          Bien que la surface de la Terre soit mieux modélisée par un ellipsoïde de révolution aplati, pour les cartes à petite échelle, l'ellipsoïde est approximé par une sphère de rayon une. De nombreuses méthodes différentes existent pour calculer une. Les plus simples comprennent (a) le rayon équatorial de l'ellipsoïde, (b) la moyenne arithmétique ou géométrique des demi-axes de l'ellipsoïde, et (c) le rayon de la sphère ayant le même volume que l'ellipsoïde. [14] La gamme pour une parmi les choix possibles est d'environ 35 km, mais pour les applications à petite échelle (grande région), cette variation peut être ignorée, et des valeurs moyennes de 6 371 km et 40 030 km peuvent être prises pour le rayon et la circonférence respectivement. Ce sont les valeurs utilisées pour les exemples numériques dans les sections suivantes. Seule une cartographie de haute précision sur des cartes à grande échelle nécessite un modèle ellipsoïdal.

          Projections cylindriques Modifier

          Une projection cartographique cylindrique est spécifiée par des formules liant les coordonnées géographiques de latitude φ et la longitude λ aux coordonnées cartésiennes sur la carte avec origine sur l'équateur et X-axe le long de l'équateur. Par construction, tous les points d'un même méridien se trouvent sur le même Générateur [a] du cylindre à une valeur constante de X, mais la distance oui le long de la génératrice (mesurée à partir de l'équateur) est une fonction arbitraire [b] de la latitude, oui(φ). En général, cette fonction ne décrit pas la projection géométrique (comme des rayons lumineux sur un écran) du centre du globe au cylindre, qui n'est qu'une des nombreuses façons de projeter conceptuellement une carte cylindrique.

          Géométrie des petits éléments Modifier

          Les relations entre oui(φ) et les propriétés de la projection, telles que la transformation des angles et la variation d'échelle, découlent de la géométrie des petit éléments sur le globe et la carte. La figure ci-dessous montre un point P à la latitude φ et la longitude λ sur le globe et un point voisin Q à la latitude φ + δφ et la longitude λ + δλ. Les lignes verticales PK et MQ sont des arcs de méridiens de longueur Rδφ. [c] Les lignes horizontales PM et KQ sont des arcs de parallèles de longueur R(car φ)δλ. [ré]

          Pour les petits éléments, l'angle PKQ est approximativement un angle droit et donc

          Les facteurs d'échelle mentionnés précédemment du globe au cylindre sont donnés par

          Étant donné que les méridiens sont mappés sur des lignes de constante X, nous devons avoir X = R(λλ0) et x = Rδλ, (λ en radians). Donc, dans la limite des éléments infiniment petits

          Dérivation de la projection de Mercator Modifier

          Le choix de la fonction oui(φ) pour la projection de Mercator est déterminé par l'exigence que la projection soit conforme, condition qui peut être définie de deux manières équivalentes :

          • Égalité des angles. La condition qu'un parcours de navigation d'azimut constant α sur le globe est cartographié dans un roulement de grille constant β Sur la carte. Réglage α = β dans les équations ci-dessus donne oui(φ) = R seconde φ.
          • Isotropie des facteurs d'échelle. C'est l'affirmation selon laquelle le facteur d'échelle du point est indépendant de la direction, de sorte que les petites formes sont préservées par la projection. Réglage h = k dans les équations ci-dessus donne à nouveau oui(φ) = R seconde φ.

          avec oui(0) = 0, en utilisant des tables intégrales [18] ou des méthodes élémentaires, [19] donne y(φ). Par conséquent,

          Dans la première équation λ0 est la longitude d'un méridien central arbitraire généralement, mais pas toujours, celui de Greenwich (c'est-à-dire zéro). La différence (λλ0) est en radians.

          La fonction oui(φ) est tracé à côté φ pour le cas R = 1 : il tend vers l'infini aux pôles. Le linéaire ouiLes valeurs de l'axe ne sont généralement pas affichées sur les cartes imprimées, mais certaines cartes affichent l'échelle non linéaire des valeurs de latitude sur la droite. Le plus souvent, les cartes ne montrent qu'un graticule de méridiens et de parallèles sélectionnés

          Transformations inverses Modifier

          Expressions alternatives Modifier

          Il existe de nombreuses expressions alternatives pour oui(φ), tous dérivés par des manipulations élémentaires. [19]

          Les inverses correspondants sont :

          Pour les angles exprimés en degrés :

          Les formules ci-dessus sont écrites en termes de rayon du globe R. Il est souvent pratique de travailler directement avec la largeur de la carte W = 2 R. Par exemple, les équations de transformation de base deviennent

          Troncature et rapport d'aspect Modifier

          Facteur d'échelle Modifier

          La figure comparant les éléments infinitésimaux sur le globe et la projection montre que lorsque α=β les triangles PQM et P′Q′M′ sont similaires de sorte que le facteur d'échelle dans une direction arbitraire est le même que les facteurs d'échelle parallèle et méridien :

          Ce résultat est valable pour une direction arbitraire : la définition de l'isotropie du facteur d'échelle du point. Le graphique montre la variation du facteur d'échelle avec la latitude. Certaines valeurs numériques sont répertoriées ci-dessous.

          à 30° de latitude, le facteur d'échelle est k = sec 30° = 1,15, à 45° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 45° = 1,41, à 60° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 60° = 2, à 80° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 80° = 5.76, à 85° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 85° = 11,5

          La variation avec la latitude est parfois indiquée par plusieurs échelles à barres comme indiqué ci-dessous et, par exemple, sur un atlas scolaire finlandais. L'interprétation de telles échelles à barres n'est pas triviale. Voir la discussion sur les formules de distance ci-dessous.

          Echelle de surface Modifier

          Le facteur d'échelle de surface est le produit des échelles parallèle et méridienne hk = seconde 2 φ . Pour le Groenland, en prenant 73° comme latitude médiane, hk = 11.7. Pour l'Australie, en prenant 25° comme latitude médiane, hk = 1,2. Pour la Grande-Bretagne, en prenant 55° comme latitude médiane, hk = 3.04.

          Distorsion Modifier

          La manière classique de montrer la distorsion inhérente à une projection est d'utiliser l'indicatrice de Tissot. Nicolas Tissot a noté que les facteurs d'échelle à un point sur une projection cartographique, spécifié par les nombres h et k, définissez une ellipse à cet endroit. Pour les projections cylindriques, les axes de l'ellipse sont alignés sur les méridiens et les parallèles. [17] [20] [e] Pour la projection de Mercator, h = k, de sorte que les ellipses dégénèrent en cercles de rayon proportionnel à la valeur du facteur d'échelle pour cette latitude. Ces cercles sont rendus sur la carte projetée avec une variation extrême de taille, indicative des variations d'échelle de Mercator.

          Précision Modifier

          Une mesure de la précision d'une carte est une comparaison de la longueur des éléments de ligne correspondants sur la carte et le globe. Par conséquent, par construction, la projection de Mercator est parfaitement précise, k = 1, le long de l'équateur et nulle part ailleurs. A une latitude de ±25° la valeur de sec φ est d'environ 1,1 et donc la projection peut être considérée comme précise à 10 % près dans une bande de largeur 50° centrée sur l'équateur. Les bandes plus étroites sont meilleures : sec 8° = 1,01, donc une bande de largeur 16° (centrée sur l'équateur) est précise à 1% près ou 1 partie sur 100. De même sec 2,56° = 1,001, donc une bande de largeur 5,12° (centré sur l'équateur) est précis à 0,1% près ou 1 partie sur 1000. Par conséquent, la projection de Mercator est adéquate pour cartographier les pays proches de l'équateur.

          Projection sécante Modifier

          Dans une projection de Mercator sécante (au sens de coupe) le globe est projeté sur un cylindre qui coupe la sphère à deux parallèles avec des latitudes ±φ1. L'échelle est maintenant vraie à ces latitudes alors que les parallèles entre ces latitudes sont contractés par la projection et leur facteur d'échelle doit être inférieur à un. Le résultat est que déviation de l'échelle à partir de l'unité est réduite sur une plus large gamme de latitudes.

          Un exemple d'une telle projection est

          L'échelle sur l'équateur est de 0,99 l'échelle est k = 1 à une latitude d'environ ±8° (la valeur de φ1) l'échelle est k = 1,01 à une latitude d'environ ± 11,4°. La projection a donc une précision de 1%, sur une bande plus large de 22° par rapport aux 16° de la projection normale (tangente). Il s'agit d'une technique standard pour étendre la région sur laquelle une projection cartographique a une précision donnée.

          Généralisation à l'ellipsoïde Modifier

          Lorsque la Terre est modélisée par un sphéroïde (ellipsoïde de révolution) la projection de Mercator doit être modifiée pour rester conforme. Les équations de transformation et le facteur d'échelle pour la version non sécante sont [21]

          Le facteur d'échelle est l'unité sur l'équateur, comme il doit l'être puisque le cylindre est tangent à l'ellipsoïde à l'équateur. La correction ellipsoïdale du facteur d'échelle augmente avec la latitude mais elle n'est jamais supérieure à e 2 , une correction de moins de 1%. (La valeur de e 2 est d'environ 0,006 pour tous les ellipsoïdes de référence.) C'est beaucoup plus petit que l'imprécision de l'échelle, sauf très près de l'équateur. Seules des projections Mercator précises des régions proches de l'équateur nécessiteront les corrections ellipsoïdales.

          Formules pour la distance Modifier

          La conversion de la distance de la règle sur la carte de Mercator en distance réelle (grand cercle) sur la sphère est simple le long de l'équateur mais nulle part ailleurs. Un problème est la variation d'échelle avec la latitude, et un autre est que les lignes droites sur la carte (lignes rhumb), autres que les méridiens ou l'équateur, ne correspondent pas à des grands cercles.

          La distinction entre la distance rhumb (à la voile) et la distance orthodromique (vraie) était clairement comprise par Mercator. (Voir Légende 12 sur la carte de 1569.) Il a souligné que la distance de la loxodromie est une approximation acceptable pour la vraie distance de grand cercle pour les parcours de courte ou moyenne distance, en particulier aux latitudes inférieures. Il quantifie même son affirmation : « Quand les distances de grand cercle qui sont à mesurer au voisinage de l'équateur ne dépassent pas 20 degrés d'un grand cercle, ou 15 degrés près de l'Espagne et de la France, ou 8 et même 10 degrés dans les parties nord il est pratique d'utiliser des distances de loxodromie".

          Distance vraie = distance rhumb ≅ distance règle × cos φ / RF. (lignes courtes)

          Des distances plus longues nécessitent différentes approches.

          Sur l'équateur Modifier

          L'échelle est l'unité sur l'équateur (pour une projection non sécante). Par conséquent, l'interprétation des mesures à la règle sur l'équateur est simple :

          Distance vraie = distance de la règle / RF (équateur)

          Sur d'autres parallèles Modifier

          Sur tout autre parallèle le facteur d'échelle est sec φ de sorte que

          Distance parallèle = distance règle × cos φ / RF (parallèle).

          Pour le modèle ci-dessus, 1 cm correspond à 1 500 km à une latitude de 60°.

          Sur un méridien Modifier

          Un méridien de la carte est un grand cercle sur le globe, mais la variation d'échelle continue signifie que la mesure de la règle seule ne peut pas donner la vraie distance entre des points distants sur le méridien. Cependant, si la carte est marquée d'une échelle de latitude précise et finement espacée à partir de laquelle la latitude peut être lue directement - comme c'est le cas pour la carte du monde Mercator 1569 (feuilles 3, 9, 15) et toutes les cartes marines ultérieures - le méridien distance entre deux latitudes φ1 et φ2 est simplement

          Si les latitudes des points d'extrémité ne peuvent pas être déterminées avec confiance, elles peuvent alors être trouvées par calcul sur la distance à la règle. Appeler les distances à la règle des points d'extrémité sur le méridien de la carte mesurée à partir de l'équateur oui1 et oui2, la distance réelle entre ces points de la sphère est donnée en utilisant l'une des formules inverses de Mercator :

          Sur un rhumb Modifier

          Si α n'est ni 0 ni alors la figure ci-dessus des éléments infinitésimaux montre que la longueur d'une loxodromie infinitésimale sur la sphère entre les latitudes φ et φ + δφ est une seconde α δφ. Depuis α est constante sur la loxodromie cette expression peut être intégrée pour donner, pour des loxodromies finies sur la Terre :

          Encore une fois, si Δφ peut être lu directement à partir d'une échelle de latitude précise sur la carte, puis la distance rhumb entre les points de la carte avec les latitudes φ1 et φ2 est donnée par ce qui précède. S'il n'y a pas une telle échelle, les distances de la règle entre les extrémités et l'équateur, oui1 et oui2, donner le résultat via une formule inverse :

          Ces formules donnent des distances de rhumb sur la sphère qui peuvent être très différentes des vraies distances dont la détermination nécessite des calculs plus sophistiqués. [F]


          5. Cartes topographiques numérisées

          De nombreux produits de données numériques ont été dérivés de la série de cartes topographiques de l'USGS. Les plus simples de ces produits sont Graphiques raster numériques (DRG). Les DRG sont des images matricielles numérisées de cartes topographiques USGS 1:24 000. Les DRG sont utiles comme toiles de fond sur lesquelles d'autres données numériques peuvent être superposées. Par exemple, l'exactitude d'un fichier vectoriel contenant des lignes qui représentent des lacs, des rivières et des ruisseaux pourrait être vérifiée pour en assurer l'exhaustivité et l'exactitude en le traçant sur un DRG.

          Les DRG sont créés en numérisant des cartes papier à une résolution de 250 pixels par pouce. Puisqu'au 1:24 000 1 pouce sur la carte représente 2 000 pieds au sol, chaque pixel DRG correspond à une zone d'environ 8 pieds (2,4 mètres) de côté. Chaque pixel est associé à un seul attribut : un nombre de 0 à 12. Les nombres représentent les 13 couleurs DRG standard.

          Comme les cartes papier à partir desquelles elles sont numérisées, les DRG sont conformes aux normes nationales d'exactitude des cartes. Un sous-ensemble des plus de 50 000 DRG qui couvrent les 48 états inférieurs a été échantillonné et testé pour l'exhaustivité et la précision de la position.

          Les DRG sont conformes à la projection universelle transverse de Mercator utilisée dans la zone UTM locale. Les images numérisées sont transformées en projection UTM en faisant correspondre les positions de 16 points de contrôle. Comme les cartes topographiques en quadrilatère, tous les DRG d'une zone UTM peuvent être assemblés pour former une mosaïque une fois que les « colliers » de la carte ont été supprimés.

          Consultez USA Topo Maps, une carte Web qui fournit une compilation numérique transparente de cartes topographiques USGS pour l'ensemble des États-Unis. Il s'agit d'une carte Web à plusieurs échelles hébergée dans ArcGIS Online. En zoomant, vous verrez différentes échelles de cartes topographiques numérisées. Les images à plus grande échelle sont construites à partir des DRG USGS.

          Essaye ça!

          Explorer un DRG avec Global Mapper

          Vous pouvez utiliser un logiciel gratuit appelé Mappeur mondial pour étudier les caractéristiques d'un graphique raster numérique USGS. Développé à l'origine par le personnel de la division de cartographie de l'USGS à Rolla, Missouri, en tant que visionneuse de données pour les données de l'USGS, Global Mapper a depuis été commercialisé mais est disponible dans une version d'essai gratuite. Les instructions ci-dessous vous guideront tout au long du processus d'installation du logiciel et d'ouverture des données DRG.

          Remarque : Global Mapper est une application Windows et ne fonctionnera pas sous le système d'exploitation Macintosh.


          Les pixels ne seront pas de la même longueur, cela dépend de la zone du globe que vous projetez. Le mercator préserve les angles, pas les longueurs.

          Regardez la carte - les zones autour des pôles sont agrandies par rapport à l'équateur. Selon ce que vous voulez faire, vous feriez mieux d'utiliser une projection standardisée, comme UTM. Vous devriez vérifier quelle projection est utilisée dans la partie du monde d'où proviennent vos cartes.

          Une autre façon serait d'appliquer la projection inverse à deux de vos pixels pour obtenir les coordonnées géographiques et mesurer la distance orthodromique entre eux. Wikipedia a plus d'informations à ce sujet, mais il y a généralement un peu de mathématiques impliquées.


          Contenu

          Il y a une certaine controverse sur les origines du Mercator. Le polymathe allemand Erhard Etzlaub a gravé des "cartes de boussole" miniatures (environ 10 × 8 cm) de l'Europe et de certaines régions d'Afrique qui s'étendaient sur des latitudes de 0° à 67° pour permettre l'ajustement de ses cadrans solaires portables de poche. La projection trouvée sur ces cartes, datant de 1511, a été déclarée par Snyder [1] en 1987 comme étant la même projection que celle de Mercator. Cependant, étant donné la géométrie d'un cadran solaire, ces cartes pourraient bien avoir été basées sur la projection cylindrique centrale similaire, un cas limite de la projection gnomonique, qui est la base d'un cadran solaire. Snyder modifie son évaluation à « une projection similaire » en 1994. [2]

          Joseph Needham, un historien de la Chine, a écrit que les Chinois ont développé la projection de Mercator des centaines d'années avant Mercator, en l'utilisant dans les cartes des étoiles pendant la dynastie Song. [3] Cependant, il s'agissait d'un cas d'identification erronée simple et courant. La projection utilisée était la projection équirectangulaire.

          Le mathématicien et cosmographe portugais Pedro Nunes a d'abord décrit le principe mathématique du loxodrome et son utilisation dans la navigation maritime. En 1537, il a proposé de construire un atlas nautique composé de plusieurs feuilles à grande échelle dans la projection cylindrique équidistante afin de minimiser la distorsion des directions. Si ces feuilles étaient ramenées à la même échelle et assemblées, elles se rapprocheraient de la projection de Mercator.

          En 1569, Gerhard Kremer, connu sous son nom commercial Gerardus Mercator, a annoncé une nouvelle projection en publiant une grande carte planisphérique mesurant 202 par 124 cm (80 par 49 in) et imprimée en dix-huit feuilles séparées. Mercator a intitulé la carte Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "Une nouvelle description augmentée de la Terre corrigée à l'usage des marins". Ce titre, ainsi qu'une explication détaillée de l'utilisation de la projection qui apparaît comme une section de texte sur la carte, montre que Mercator a compris exactement ce qu'il avait réalisé et qu'il avait l'intention de faire de la projection une aide à la navigation. Mercator n'a jamais expliqué la méthode de construction ni comment il y est arrivé. Diverses hypothèses ont été avancées au fil des ans, mais dans tous les cas, l'amitié de Mercator avec Pedro Nunes et son accès aux tables loxodromiques créées par Nunes ont probablement aidé ses efforts.

          Le mathématicien anglais Edward Wright a publié les premières tables précises pour construire la projection en 1599 et, plus en détail, en 1610, appelant son traité "Certaines erreurs de navigation". La première formulation mathématique a été publiée vers 1645 par un mathématicien nommé Henry Bond (vers 1600-1678). Cependant, les mathématiques impliquées ont été développées mais jamais publiées par le mathématicien Thomas Harriot à partir de 1589 environ. [4]

          Le développement de la projection de Mercator a représenté une percée majeure dans la cartographie marine du XVIe siècle. Cependant, il était très en avance sur son temps, car les anciennes techniques de navigation et d'arpentage n'étaient pas compatibles avec son utilisation en navigation. Deux problèmes principaux empêchaient son application immédiate : l'impossibilité de déterminer la longitude en mer avec une précision suffisante et le fait que des directions magnétiques, au lieu de directions géographiques, étaient utilisées dans la navigation. Ce n'est qu'au milieu du XVIIIe siècle, après l'invention du chronomètre de marine et la connaissance de la distribution spatiale de la déclinaison magnétique, que la projection de Mercator a pu être pleinement adoptée par les navigateurs.

          Malgré ces limitations de localisation, la projection de Mercator peut être trouvée dans de nombreuses cartes du monde au cours des siècles suivant la première publication de Mercator. Cependant, il n'a commencé à dominer les cartes du monde qu'au XIXe siècle, lorsque le problème de la détermination de la position avait été en grande partie résolu. Une fois que le Mercator est devenu la projection habituelle des cartes commerciales et éducatives, il a fait l'objet de critiques persistantes de la part des cartographes pour sa représentation déséquilibrée des masses continentales et son incapacité à montrer utilement les régions polaires.

          Les critiques formulées contre l'utilisation inappropriée de la projection de Mercator ont entraîné une vague de nouvelles inventions à la fin du XIXe et au début du XXe siècle, souvent directement présentées comme des alternatives au Mercator. En raison de ces pressions, les éditeurs ont progressivement réduit leur utilisation de la projection au cours du 20e siècle. Cependant, l'avènement de la cartographie Web a donné à la projection une résurgence brutale sous la forme de la projection Web Mercator.

          Aujourd'hui, le Mercator peut être trouvé dans les cartes marines, les cartes du monde occasionnelles et les services de cartographie Web, mais les atlas commerciaux l'ont largement abandonné, et les cartes murales du monde peuvent être trouvées dans de nombreuses projections alternatives. Google Maps, qui s'en sert depuis 2005, l'utilise toujours pour les cartes locales, mais a abandonné la projection des plates-formes de bureau en 2017 pour les cartes dézoomées des zones locales. De nombreux autres services de cartographie en ligne utilisent encore exclusivement Web Mercator.

          Comme dans toutes les projections cylindriques, les parallèles et les méridiens du Mercator sont droits et perpendiculaires les uns aux autres. Pour ce faire, l'étirement est-ouest inévitable de la carte, qui augmente à mesure que l'on s'éloigne de l'équateur, s'accompagne dans la projection de Mercator d'un étirement nord-sud correspondant, de sorte qu'à chaque emplacement de point l'échelle est-ouest est la même que l'échelle nord-sud, ce qui en fait une projection cartographique conforme. Les projections conformes préservent les angles autour de tous les emplacements.

          Parce que l'échelle linéaire d'une carte Mercator augmente avec la latitude, elle déforme la taille des objets géographiques éloignés de l'équateur et transmet une perception déformée de la géométrie globale de la planète. Aux latitudes supérieures à 70° nord ou sud, la projection de Mercator est pratiquement inutilisable, car l'échelle linéaire devient infiniment grande aux pôles. Une carte de Mercator ne peut donc jamais montrer complètement les zones polaires (tant que la projection est basée sur un cylindre centré sur l'axe de rotation de la Terre voir la projection transversale de Mercator pour une autre application).

          La projection de Mercator mappe toutes les lignes à relèvement constant (rhumbs (mathématiquement appelés loxodromes—ceux faisant des angles constants avec les méridiens) en lignes droites. Les deux propriétés, la conformité et les loxodromies droites, rendent cette projection parfaitement adaptée à la navigation les relèvements sont mesurés à l'aide de roses des vents ou de rapporteurs, et les directions correspondantes sont facilement reportées d'un point à l'autre, sur la carte, à l'aide d'une règle parallèle (par exemple).

          Comme sur toutes les projections cartographiques, les formes ou les tailles sont des distorsions de la véritable disposition de la surface de la Terre.

          La projection de Mercator exagère les zones éloignées de l'équateur.

          Exemples de distorsion de taille Modifier

            semble être extrêmement grand. Si le globe entier était cartographié, l'Antarctique se gonflerait à l'infini. En réalité, c'est le deuxième plus petit continent, juste plus petit que la Russie.
            au nord de l'archipel arctique canadien a à peu près la même taille que l'Australie, bien que l'Australie soit plus de 39 fois plus grande. Toutes les îles de l'archipel arctique du Canada semblent au moins 4 fois trop grandes, et les îles les plus au nord semblent encore plus grandes.
            apparaît de la même taille que l'Afrique, alors qu'en réalité la superficie de l'Afrique est 14 fois plus grande.
            • La superficie réelle du Groenland est comparable à celle de la seule République démocratique du Congo.
            • L'Afrique semble avoir à peu près la même taille que l'Amérique du Sud, alors qu'en réalité l'Afrique est plus d'une fois et demie plus grande.
              semble être plus grand que Bornéo, alors qu'en réalité, Bornéo est environ 12 fois plus grand que le Svalbard.
              semble être de la même taille que l'Australie, bien que l'Australie soit en réalité 4 fois et demie plus grande.
                prend également autant de superficie sur la carte que le Brésil, alors que la superficie du Brésil est près de 5 fois celle de l'Alaska.
                et la Grande-Bretagne ont à peu près la même taille, tandis que Madagascar est en réalité plus de deux fois plus grande que la plus grande des îles britanniques.
                  apparaît beaucoup plus grand que Madagascar. En réalité, ils sont de taille similaire.
                  apparaît plus grand que l'ensemble de l'Afrique, ou l'Amérique du Nord (sans les îles de cette dernière). Il apparaît également comme deux fois la taille de la Chine et des États-Unis contigus réunis, alors qu'en réalité, la somme est de taille comparable.
                  • L'inflation du nord déforme également fortement la forme de la Russie, la faisant apparaître beaucoup plus haute du nord au sud et étirant considérablement ses régions arctiques par rapport à ses latitudes moyennes.

                  Critique Modifier

                  En raison des grandes distorsions de la superficie des terres, certains [ qui? ] considèrent que la projection n'est pas adaptée aux cartes du monde générales. Par conséquent, Mercator lui-même a utilisé la projection sinusoïdale à aire égale pour montrer les aires relatives. Cependant, malgré de telles distorsions, la projection de Mercator était, en particulier à la fin du XIXe et au début du XXe siècle, peut-être la projection la plus couramment utilisée dans les cartes du monde, bien qu'elle ait été très critiquée pour cette utilisation. [5] [6] [7] [8]

                  En raison de son utilisation très courante, la projection de Mercator a été supposée avoir influencé la vision du monde des gens [9] et parce qu'elle montre les pays proches de l'équateur comme trop petits par rapport à ceux d'Europe et d'Amérique du Nord, elle a été supposée pour amener les gens à considérer ces pays comme moins importants. [10] À la suite de ces critiques, les atlas modernes n'utilisent plus la projection de Mercator pour les cartes du monde ou pour les zones éloignées de l'équateur, préférant d'autres projections cylindriques, ou des formes de projection à aire égale. La projection de Mercator est encore couramment utilisée pour les zones proches de l'équateur, cependant, où la distorsion est minime. On le trouve aussi fréquemment dans les cartes des fuseaux horaires.

                  Arno Peters a suscité la controverse à partir de 1972 lorsqu'il a proposé ce que l'on appelle maintenant généralement la projection Gall-Peters pour remédier aux problèmes du Mercator. La projection qu'il a promue est une paramétrisation spécifique de la projection cylindrique à aire égale. En réponse, une résolution de 1989 de sept groupes géographiques nord-américains a dénigré l'utilisation de projections cylindriques pour des cartes du monde à usage général, qui incluraient à la fois le Mercator et le Gall-Peters. [11]

                  Pratiquement toutes les cartes marines imprimées sont basées sur la projection de Mercator en raison de ses propriétés exceptionnellement favorables à la navigation. Il est également couramment utilisé par les services de cartes routières hébergés sur Internet, en raison de ses propriétés particulièrement favorables pour les cartes locales calculées à la demande. [12] Les projections de Mercator étaient également importantes dans le développement mathématique de la tectonique des plaques dans les années 1960. [13]

                  Navigation maritime Modifier

                  La projection de Mercator a été conçue pour être utilisée dans la navigation maritime en raison de sa propriété unique de représenter n'importe quel cap à relèvement constant sous la forme d'un segment rectiligne.Un tel cap, connu sous le nom de rhumb (ou, mathématiquement, de loxodrome) est préféré en navigation maritime car les navires peuvent naviguer dans une direction constante, ce qui réduit les corrections de cap difficiles et sujettes aux erreurs qui seraient autrement nécessaires fréquemment lors de la navigation sur un autre cours. Pour des distances petites par rapport au rayon de la Terre, la différence entre le rhumb et le parcours techniquement le plus court, un segment de grand cercle, est négligeable, et même pour des distances plus longues, la simplicité du relèvement constant le rend attrayant. Comme l'a observé Mercator, sur un tel parcours, le navire n'arriverait pas par le chemin le plus court, mais il arrivera sûrement. Naviguer sur un rhumb signifiait que tout ce que les marins avaient à faire était de garder un cap constant tant qu'ils savaient où ils étaient quand ils ont commencé, où ils avaient l'intention d'être quand ils ont terminé, et avaient une carte en projection Mercator qui montrait correctement ces deux coordonnées.

                  Web Mercator Modifier

                  De nombreux principaux services de cartographie des rues en ligne (Bing Maps, Google Maps, MapQuest, OpenStreetMap, Yahoo! Maps et autres) utilisent une variante de la projection Mercator pour leurs images cartographiques [ citation requise ] appelé Web Mercator ou Google Web Mercator. Malgré sa variation d'échelle évidente à petite échelle, la projection est bien adaptée en tant que carte du monde interactive qui peut être zoomée de manière transparente sur des cartes (locales) à grande échelle, où il y a relativement peu de distorsion en raison de la quasi-conformité de la variante de projection.

                  Les systèmes de carrelage des principaux services de cartographie des rues en ligne affichent la majeure partie du monde au niveau de zoom le plus bas sous la forme d'une seule image carrée, à l'exclusion des régions polaires par troncature à des latitudes de φmax = ±85,05113°. (Voir ci-dessous.) Les valeurs de latitude en dehors de cette plage sont mappées à l'aide d'une relation différente qui ne diverge pas à φ = ±90°. [ citation requise ]

                  Modèle sphérique Modifier

                  Bien que la surface de la Terre soit mieux modélisée par un ellipsoïde de révolution aplati, pour les cartes à petite échelle, l'ellipsoïde est approximé par une sphère de rayon une. De nombreuses méthodes différentes existent pour calculer une. Les plus simples comprennent (a) le rayon équatorial de l'ellipsoïde, (b) la moyenne arithmétique ou géométrique des demi-axes de l'ellipsoïde, et (c) le rayon de la sphère ayant le même volume que l'ellipsoïde. [14] La gamme pour une parmi les choix possibles est d'environ 35 km, mais pour les applications à petite échelle (grande région), cette variation peut être ignorée, et des valeurs moyennes de 6 371 km et 40 030 km peuvent être prises pour le rayon et la circonférence respectivement. Ce sont les valeurs utilisées pour les exemples numériques dans les sections suivantes. Seule une cartographie de haute précision sur des cartes à grande échelle nécessite un modèle ellipsoïdal.

                  Projections cylindriques Modifier

                  Une projection cartographique cylindrique est spécifiée par des formules liant les coordonnées géographiques de latitude φ et la longitude λ aux coordonnées cartésiennes sur la carte avec origine sur l'équateur et X-axe le long de l'équateur. Par construction, tous les points d'un même méridien se trouvent sur le même Générateur [a] du cylindre à une valeur constante de X, mais la distance oui le long de la génératrice (mesurée à partir de l'équateur) est une fonction arbitraire [b] de la latitude, oui(φ). En général, cette fonction ne décrit pas la projection géométrique (comme des rayons lumineux sur un écran) du centre du globe au cylindre, qui n'est qu'une des nombreuses façons de projeter conceptuellement une carte cylindrique.

                  Géométrie des petits éléments Modifier

                  Les relations entre oui(φ) et les propriétés de la projection, telles que la transformation des angles et la variation d'échelle, découlent de la géométrie des petit éléments sur le globe et la carte. La figure ci-dessous montre un point P à la latitude φ et la longitude λ sur le globe et un point voisin Q à la latitude φ + δφ et la longitude λ + δλ. Les lignes verticales PK et MQ sont des arcs de méridiens de longueur Rδφ. [c] Les lignes horizontales PM et KQ sont des arcs de parallèles de longueur R(car φ)δλ. [ré]

                  Pour les petits éléments, l'angle PKQ est approximativement un angle droit et donc

                  Les facteurs d'échelle mentionnés précédemment du globe au cylindre sont donnés par

                  Étant donné que les méridiens sont mappés sur des lignes de constante X, nous devons avoir X = R(λλ0) et x = Rδλ, (λ en radians). Donc, dans la limite des éléments infiniment petits

                  Dérivation de la projection de Mercator Modifier

                  Le choix de la fonction oui(φ) pour la projection de Mercator est déterminé par l'exigence que la projection soit conforme, condition qui peut être définie de deux manières équivalentes :

                  • Égalité des angles. La condition qu'un parcours de navigation d'azimut constant α sur le globe est cartographié dans un roulement de grille constant β Sur la carte. Réglage α = β dans les équations ci-dessus donne oui(φ) = R seconde φ.
                  • Isotropie des facteurs d'échelle. C'est l'affirmation selon laquelle le facteur d'échelle du point est indépendant de la direction, de sorte que les petites formes sont préservées par la projection. Réglage h = k dans les équations ci-dessus donne à nouveau oui(φ) = R seconde φ.

                  avec oui(0) = 0, en utilisant des tables intégrales [18] ou des méthodes élémentaires, [19] donne y(φ). Par conséquent,

                  Dans la première équation λ0 est la longitude d'un méridien central arbitraire généralement, mais pas toujours, celui de Greenwich (c'est-à-dire zéro). La différence (λλ0) est en radians.

                  La fonction oui(φ) est tracé à côté φ pour le cas R = 1 : il tend vers l'infini aux pôles. Le linéaire ouiLes valeurs de l'axe ne sont généralement pas affichées sur les cartes imprimées, mais certaines cartes affichent l'échelle non linéaire des valeurs de latitude sur la droite. Le plus souvent, les cartes ne montrent qu'un graticule de méridiens et de parallèles sélectionnés

                  Transformations inverses Modifier

                  Expressions alternatives Modifier

                  Il existe de nombreuses expressions alternatives pour oui(φ), tous dérivés par des manipulations élémentaires. [19]

                  Les inverses correspondants sont :

                  Pour les angles exprimés en degrés :

                  Les formules ci-dessus sont écrites en termes de rayon du globe R. Il est souvent pratique de travailler directement avec la largeur de la carte W = 2 R. Par exemple, les équations de transformation de base deviennent

                  Troncature et rapport d'aspect Modifier

                  Facteur d'échelle Modifier

                  La figure comparant les éléments infinitésimaux sur le globe et la projection montre que lorsque α=β les triangles PQM et P′Q′M′ sont similaires de sorte que le facteur d'échelle dans une direction arbitraire est le même que les facteurs d'échelle parallèle et méridien :

                  Ce résultat est valable pour une direction arbitraire : la définition de l'isotropie du facteur d'échelle du point. Le graphique montre la variation du facteur d'échelle avec la latitude. Certaines valeurs numériques sont répertoriées ci-dessous.

                  à 30° de latitude, le facteur d'échelle est k = sec 30° = 1,15, à 45° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 45° = 1,41, à 60° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 60° = 2, à 80° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 80° = 5.76, à 85° de latitude le facteur d'échelle est k = sec 85° = 11,5

                  La variation avec la latitude est parfois indiquée par plusieurs échelles à barres comme indiqué ci-dessous et, par exemple, sur un atlas scolaire finlandais. L'interprétation de telles échelles à barres n'est pas triviale. Voir la discussion sur les formules de distance ci-dessous.

                  Echelle de surface Modifier

                  Le facteur d'échelle de surface est le produit des échelles parallèle et méridienne hk = seconde 2 φ . Pour le Groenland, en prenant 73° comme latitude médiane, hk = 11.7. Pour l'Australie, en prenant 25° comme latitude médiane, hk = 1,2. Pour la Grande-Bretagne, en prenant 55° comme latitude médiane, hk = 3.04.

                  Distorsion Modifier

                  La manière classique de montrer la distorsion inhérente à une projection est d'utiliser l'indicatrice de Tissot. Nicolas Tissot a noté que les facteurs d'échelle à un point sur une projection cartographique, spécifié par les nombres h et k, définissez une ellipse à cet endroit. Pour les projections cylindriques, les axes de l'ellipse sont alignés sur les méridiens et les parallèles. [17] [20] [e] Pour la projection de Mercator, h = k, de sorte que les ellipses dégénèrent en cercles de rayon proportionnel à la valeur du facteur d'échelle pour cette latitude. Ces cercles sont rendus sur la carte projetée avec une variation extrême de taille, indicative des variations d'échelle de Mercator.

                  Précision Modifier

                  Une mesure de la précision d'une carte est une comparaison de la longueur des éléments de ligne correspondants sur la carte et le globe. Par conséquent, par construction, la projection de Mercator est parfaitement précise, k = 1, le long de l'équateur et nulle part ailleurs. A une latitude de ±25° la valeur de sec φ est d'environ 1,1 et donc la projection peut être considérée comme précise à 10 % près dans une bande de largeur 50° centrée sur l'équateur. Les bandes plus étroites sont meilleures : sec 8° = 1,01, donc une bande de largeur 16° (centrée sur l'équateur) est précise à 1% près ou 1 partie sur 100. De même sec 2,56° = 1,001, donc une bande de largeur 5,12° (centré sur l'équateur) est précis à 0,1% près ou 1 partie sur 1000. Par conséquent, la projection de Mercator est adéquate pour cartographier les pays proches de l'équateur.

                  Projection sécante Modifier

                  Dans une projection de Mercator sécante (au sens de coupe) le globe est projeté sur un cylindre qui coupe la sphère à deux parallèles avec des latitudes ±φ1. L'échelle est maintenant vraie à ces latitudes alors que les parallèles entre ces latitudes sont contractés par la projection et leur facteur d'échelle doit être inférieur à un. Le résultat est que déviation de l'échelle à partir de l'unité est réduite sur une plus large gamme de latitudes.

                  Un exemple d'une telle projection est

                  L'échelle sur l'équateur est de 0,99 l'échelle est k = 1 à une latitude d'environ ±8° (la valeur de φ1) l'échelle est k = 1,01 à une latitude d'environ ± 11,4°. La projection a donc une précision de 1%, sur une bande plus large de 22° par rapport aux 16° de la projection normale (tangente). Il s'agit d'une technique standard pour étendre la région sur laquelle une projection cartographique a une précision donnée.

                  Généralisation à l'ellipsoïde Modifier

                  Lorsque la Terre est modélisée par un sphéroïde (ellipsoïde de révolution) la projection de Mercator doit être modifiée pour rester conforme. Les équations de transformation et le facteur d'échelle pour la version non sécante sont [21]

                  Le facteur d'échelle est l'unité sur l'équateur, comme il doit l'être puisque le cylindre est tangent à l'ellipsoïde à l'équateur. La correction ellipsoïdale du facteur d'échelle augmente avec la latitude mais elle n'est jamais supérieure à e 2 , une correction de moins de 1%. (La valeur de e 2 est d'environ 0,006 pour tous les ellipsoïdes de référence.) C'est beaucoup plus petit que l'imprécision de l'échelle, sauf très près de l'équateur. Seules des projections Mercator précises des régions proches de l'équateur nécessiteront les corrections ellipsoïdales.

                  Formules pour la distance Modifier

                  La conversion de la distance de la règle sur la carte de Mercator en distance réelle (grand cercle) sur la sphère est simple le long de l'équateur mais nulle part ailleurs. Un problème est la variation d'échelle avec la latitude, et un autre est que les lignes droites sur la carte (lignes rhumb), autres que les méridiens ou l'équateur, ne correspondent pas à des grands cercles.

                  La distinction entre la distance rhumb (à la voile) et la distance orthodromique (vraie) était clairement comprise par Mercator. (Voir Légende 12 sur la carte de 1569.) Il a souligné que la distance de la loxodromie est une approximation acceptable pour la vraie distance de grand cercle pour les parcours de courte ou moyenne distance, en particulier aux latitudes inférieures. Il quantifie même son affirmation : « Quand les distances de grand cercle qui sont à mesurer au voisinage de l'équateur ne dépassent pas 20 degrés d'un grand cercle, ou 15 degrés près de l'Espagne et de la France, ou 8 et même 10 degrés dans les parties nord il est pratique d'utiliser des distances de loxodromie".

                  Distance vraie = distance rhumb ≅ distance règle × cos φ / RF. (lignes courtes)

                  Des distances plus longues nécessitent différentes approches.

                  Sur l'équateur Modifier

                  L'échelle est l'unité sur l'équateur (pour une projection non sécante). Par conséquent, l'interprétation des mesures à la règle sur l'équateur est simple :

                  Distance vraie = distance de la règle / RF (équateur)

                  Sur d'autres parallèles Modifier

                  Sur tout autre parallèle le facteur d'échelle est sec φ de sorte que

                  Distance parallèle = distance règle × cos φ / RF (parallèle).

                  Pour le modèle ci-dessus, 1 cm correspond à 1 500 km à une latitude de 60°.

                  Sur un méridien Modifier

                  Un méridien de la carte est un grand cercle sur le globe, mais la variation d'échelle continue signifie que la mesure de la règle seule ne peut pas donner la vraie distance entre des points distants sur le méridien. Cependant, si la carte est marquée d'une échelle de latitude précise et finement espacée à partir de laquelle la latitude peut être lue directement - comme c'est le cas pour la carte du monde Mercator 1569 (feuilles 3, 9, 15) et toutes les cartes marines ultérieures - le méridien distance entre deux latitudes φ1 et φ2 est simplement

                  Si les latitudes des points d'extrémité ne peuvent pas être déterminées avec confiance, elles peuvent alors être trouvées par calcul sur la distance à la règle. Appeler les distances à la règle des points d'extrémité sur le méridien de la carte mesurée à partir de l'équateur oui1 et oui2, la distance réelle entre ces points de la sphère est donnée en utilisant l'une des formules inverses de Mercator :

                  Sur un rhumb Modifier

                  Si α n'est ni 0 ni alors la figure ci-dessus des éléments infinitésimaux montre que la longueur d'une loxodromie infinitésimale sur la sphère entre les latitudes φ et φ + δφ est une seconde α δφ. Depuis α est constante sur la loxodromie cette expression peut être intégrée pour donner, pour des loxodromies finies sur la Terre :

                  Encore une fois, si Δφ peut être lu directement à partir d'une échelle de latitude précise sur la carte, puis la distance rhumb entre les points de la carte avec les latitudes φ1 et φ2 est donnée par ce qui précède. S'il n'y a pas une telle échelle, les distances de la règle entre les extrémités et l'équateur, oui1 et oui2, donner le résultat via une formule inverse :

                  Ces formules donnent des distances de rhumb sur la sphère qui peuvent être très différentes des vraies distances dont la détermination nécessite des calculs plus sophistiqués. [F]